Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45214 / 28894
↖ ↑ ↗
← N 20.807472°
E 68.367920°		 ← 570.95 m → N 20.807472°
E 68.373413°		 →
↑
570.97 m
↓
↑
570.97 m
↓
N 20.802337°
E 68.367920°		 ← 570.97 m →
326 001 m²		 N 20.802337°
E 68.373413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689918518066406 y=0.440895080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689918518066406 × 216)
    floor (0.689918518066406 × 65536)
    floor (45214.5)     		tx = 45214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440895080566406 × 216)
    floor (0.440895080566406 × 65536)
    floor (28894.5)     		ty = 28894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45214 / 28894 ti = "16/45214/28894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45214/28894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45214 ÷ 216
    45214 ÷ 65536     		x = 0.689910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28894 ÷ 216
    28894 ÷ 65536     		y = 0.440887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689910888671875 × 2 - 1) × π
    0.37982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19324531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440887451171875 × 2 - 1) × π
    0.11822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.371415098256195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19324531} λ = 1.19324531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371415098256195))-π/2
    2×atan(1.44978475162247)-π/2
    2×0.966977607407692-π/2
    1.93395521481538-1.57079632675     		φ = 0.36315889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19324531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.367920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36315889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.807472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45214 KachelY 28894 1.19324531 0.36315889 68.367920 20.807472
    Oben rechts KachelX + 1 45215 KachelY 28894 1.19334118 0.36315889 68.373413 20.807472
    Unten links KachelX 45214 KachelY + 1 28895 1.19324531 0.36306927 68.367920 20.802337
    Unten rechts KachelX + 1 45215 KachelY + 1 28895 1.19334118 0.36306927 68.373413 20.802337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36315889-0.36306927) × R
    8.96200000000125e-05 × 6371000     		dl = 570.969020000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36315889-0.36306927) × R
    8.96200000000125e-05 × 6371000     		dr = 570.969020000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19324531-1.19334118) × cos(0.36315889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934779360516268 × 6371000     		do = 570.951801051745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19324531-1.19334118) × cos(0.36306927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934811192373231 × 6371000     		du = 570.971243560674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36315889)-sin(0.36306927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934779360516268-0.934811192373231)×R²
    abs(1.19334118-1.19324531)×3.18318569628717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18318569628717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18318569628717e-05×40589641000000     		ar = 326001.341067064m²