Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45213 / 28709
↖ ↑ ↗
← N 21.754398°
E 68.362427°		 ← 567.35 m → N 21.754398°
E 68.367920°		 →
↑
567.34 m
↓
↑
567.34 m
↓
N 21.749296°
E 68.362427°		 ← 567.37 m →
321 883 m²		 N 21.749296°
E 68.367920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689903259277344 y=0.438072204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689903259277344 × 216)
    floor (0.689903259277344 × 65536)
    floor (45213.5)     		tx = 45213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438072204589844 × 216)
    floor (0.438072204589844 × 65536)
    floor (28709.5)     		ty = 28709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45213 / 28709 ti = "16/45213/28709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45213/28709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45213 ÷ 216
    45213 ÷ 65536     		x = 0.689895629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28709 ÷ 216
    28709 ÷ 65536     		y = 0.438064575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689895629882812 × 2 - 1) × π
    0.379791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19314943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438064575195312 × 2 - 1) × π
    0.123870849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.389151751115616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19314943} λ = 1.19314943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389151751115616))-π/2
    2×atan(1.47572847778493)-π/2
    2×0.975241098240599-π/2
    1.9504821964812-1.57079632675     		φ = 0.37968587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19314943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.362427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37968587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.754398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45213 KachelY 28709 1.19314943 0.37968587 68.362427 21.754398
    Oben rechts KachelX + 1 45214 KachelY 28709 1.19324531 0.37968587 68.367920 21.754398
    Unten links KachelX 45213 KachelY + 1 28710 1.19314943 0.37959682 68.362427 21.749296
    Unten rechts KachelX + 1 45214 KachelY + 1 28710 1.19324531 0.37959682 68.367920 21.749296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37968587-0.37959682) × R
    8.90499999999794e-05 × 6371000     		dl = 567.337549999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37968587-0.37959682) × R
    8.90499999999794e-05 × 6371000     		dr = 567.337549999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19314943-1.19324531) × cos(0.37968587) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.928781107002426 × 6371000     		do = 567.347313808098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19314943-1.19324531) × cos(0.37959682) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.92881410780819 × 6371000     		du = 567.36747239914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37968587)-sin(0.37959682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928781107002426-0.92881410780819)×R²
    abs(1.19324531-1.19314943)×3.30008057639608e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.30008057639608e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.30008057639608e-05×40589641000000     		ar = 321883.153590371m²