Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45210 / 28869
↖ ↑ ↗
← N 20.935789°
E 68.345947°		 ← 570.46 m → N 20.935789°
E 68.351440°		 →
↑
570.46 m
↓
↑
570.46 m
↓
N 20.930659°
E 68.345947°		 ← 570.48 m →
325 432 m²		 N 20.930659°
E 68.351440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689857482910156 y=0.440513610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689857482910156 × 216)
    floor (0.689857482910156 × 65536)
    floor (45210.5)     		tx = 45210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440513610839844 × 216)
    floor (0.440513610839844 × 65536)
    floor (28869.5)     		ty = 28869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45210 / 28869 ti = "16/45210/28869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45210/28869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45210 ÷ 216
    45210 ÷ 65536     		x = 0.689849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28869 ÷ 216
    28869 ÷ 65536     		y = 0.440505981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689849853515625 × 2 - 1) × π
    0.37969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19286181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440505981445312 × 2 - 1) × π
    0.118988037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.373811943237198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19286181} λ = 1.19286181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373811943237198))-π/2
    2×atan(1.45326382866654)-π/2
    2×0.968097390305965-π/2
    1.93619478061193-1.57079632675     		φ = 0.36539845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19286181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36539845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.935789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45210 KachelY 28869 1.19286181 0.36539845 68.345947 20.935789
    Oben rechts KachelX + 1 45211 KachelY 28869 1.19295768 0.36539845 68.351440 20.935789
    Unten links KachelX 45210 KachelY + 1 28870 1.19286181 0.36530891 68.345947 20.930659
    Unten rechts KachelX + 1 45211 KachelY + 1 28870 1.19295768 0.36530891 68.351440 20.930659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36539845-0.36530891) × R
    8.95399999999991e-05 × 6371000     		dl = 570.459339999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36539845-0.36530891) × R
    8.95399999999991e-05 × 6371000     		dr = 570.459339999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19286181-1.19295768) × cos(0.36539845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933981460570187 × 6371000     		do = 570.464453522995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19286181-1.19295768) × cos(0.36530891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934013451390309 × 6371000     		du = 570.483993124678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36539845)-sin(0.36530891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933981460570187-0.934013451390309)×R²
    abs(1.19295768-1.19286181)×3.19908201221741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19908201221741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19908201221741e-05×40589641000000     		ar = 325432.349141622m²