Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45204 / 28845
↖ ↑ ↗
← N 21.058871°
E 68.312988°		 ← 569.99 m → N 21.058871°
E 68.318481°		 →
↑
570.01 m
↓
↑
570.01 m
↓
N 21.053744°
E 68.312988°		 ← 570.01 m →
324 910 m²		 N 21.053744°
E 68.318481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689765930175781 y=0.440147399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689765930175781 × 216)
    floor (0.689765930175781 × 65536)
    floor (45204.5)     		tx = 45204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440147399902344 × 216)
    floor (0.440147399902344 × 65536)
    floor (28845.5)     		ty = 28845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45204 / 28845 ti = "16/45204/28845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45204/28845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45204 ÷ 216
    45204 ÷ 65536     		x = 0.68975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28845 ÷ 216
    28845 ÷ 65536     		y = 0.440139770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68975830078125 × 2 - 1) × π
    0.3795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19228657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440139770507812 × 2 - 1) × π
    0.119720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.376112914418961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19228657} λ = 1.19228657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376112914418961))-π/2
    2×atan(1.4566115969379)-π/2
    2×0.969171480078814-π/2
    1.93834296015763-1.57079632675     		φ = 0.36754663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19228657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36754663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.058871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45204 KachelY 28845 1.19228657 0.36754663 68.312988 21.058871
    Oben rechts KachelX + 1 45205 KachelY 28845 1.19238244 0.36754663 68.318481 21.058871
    Unten links KachelX 45204 KachelY + 1 28846 1.19228657 0.36745716 68.312988 21.053744
    Unten rechts KachelX + 1 45205 KachelY + 1 28846 1.19238244 0.36745716 68.318481 21.053744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36754663-0.36745716) × R
    8.94699999999804e-05 × 6371000     		dl = 570.013369999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36754663-0.36745716) × R
    8.94699999999804e-05 × 6371000     		dr = 570.013369999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19228657-1.19238244) × cos(0.36754663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933211715319272 × 6371000     		do = 569.99430253772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19228657-1.19238244) × cos(0.36745716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933243860570976 × 6371000     		du = 570.013936464325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36754663)-sin(0.36745716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933211715319272-0.933243860570976)×R²
    abs(1.19238244-1.19228657)×3.21452517048071e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21452517048071e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21452517048071e-05×40589641000000     		ar = 324909.969287391m²