Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45204 / 28830
↖ ↑ ↗
← N 21.135745°
E 68.312988°		 ← 569.70 m → N 21.135745°
E 68.318481°		 →
↑
569.69 m
↓
↑
569.69 m
↓
N 21.130622°
E 68.312988°		 ← 569.72 m →
324 560 m²		 N 21.130622°
E 68.318481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689765930175781 y=0.439918518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689765930175781 × 216)
    floor (0.689765930175781 × 65536)
    floor (45204.5)     		tx = 45204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439918518066406 × 216)
    floor (0.439918518066406 × 65536)
    floor (28830.5)     		ty = 28830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45204 / 28830 ti = "16/45204/28830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45204/28830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45204 ÷ 216
    45204 ÷ 65536     		x = 0.68975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28830 ÷ 216
    28830 ÷ 65536     		y = 0.439910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68975830078125 × 2 - 1) × π
    0.3795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19228657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439910888671875 × 2 - 1) × π
    0.12017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.377551021407562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19228657} λ = 1.19228657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377551021407562))-π/2
    2×atan(1.45870786722432)-π/2
    2×0.969842335673942-π/2
    1.93968467134788-1.57079632675     		φ = 0.36888834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19228657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36888834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.135745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45204 KachelY 28830 1.19228657 0.36888834 68.312988 21.135745
    Oben rechts KachelX + 1 45205 KachelY 28830 1.19238244 0.36888834 68.318481 21.135745
    Unten links KachelX 45204 KachelY + 1 28831 1.19228657 0.36879892 68.312988 21.130622
    Unten rechts KachelX + 1 45205 KachelY + 1 28831 1.19238244 0.36879892 68.318481 21.130622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36888834-0.36879892) × R
    8.94200000000067e-05 × 6371000     		dl = 569.694820000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36888834-0.36879892) × R
    8.94200000000067e-05 × 6371000     		dr = 569.694820000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19228657-1.19238244) × cos(0.36888834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932728762854943 × 6371000     		do = 569.699321079017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19228657-1.19238244) × cos(0.36879892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932761002080184 × 6371000     		du = 569.719012403509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36888834)-sin(0.36879892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932728762854943-0.932761002080184)×R²
    abs(1.19238244-1.19228657)×3.2239225240982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2239225240982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2239225240982e-05×40589641000000     		ar = 324560.361415308m²