Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45203 / 28843
↖ ↑ ↗
← N 21.069123°
E 68.307495°		 ← 570.01 m → N 21.069123°
E 68.312988°		 →
↑
570.01 m
↓
↑
570.01 m
↓
N 21.063997°
E 68.307495°		 ← 570.03 m →
324 921 m²		 N 21.063997°
E 68.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689750671386719 y=0.440116882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689750671386719 × 216)
    floor (0.689750671386719 × 65536)
    floor (45203.5)     		tx = 45203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440116882324219 × 216)
    floor (0.440116882324219 × 65536)
    floor (28843.5)     		ty = 28843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45203 / 28843 ti = "16/45203/28843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45203/28843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45203 ÷ 216
    45203 ÷ 65536     		x = 0.689743041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28843 ÷ 216
    28843 ÷ 65536     		y = 0.440109252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689743041992188 × 2 - 1) × π
    0.379486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19219069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440109252929688 × 2 - 1) × π
    0.119781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.376304662017441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19219069} λ = 1.19219069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376304662017441))-π/2
    2×atan(1.45689092549296)-π/2
    2×0.96926094754867-π/2
    1.93852189509734-1.57079632675     		φ = 0.36772557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19219069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.307495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36772557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.069123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45203 KachelY 28843 1.19219069 0.36772557 68.307495 21.069123
    Oben rechts KachelX + 1 45204 KachelY 28843 1.19228657 0.36772557 68.312988 21.069123
    Unten links KachelX 45203 KachelY + 1 28844 1.19219069 0.36763610 68.307495 21.063997
    Unten rechts KachelX + 1 45204 KachelY + 1 28844 1.19228657 0.36763610 68.312988 21.063997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36772557-0.36763610) × R
    8.94699999999804e-05 × 6371000     		dl = 570.013369999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36772557-0.36763610) × R
    8.94699999999804e-05 × 6371000     		dr = 570.013369999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19219069-1.19228657) × cos(0.36772557) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933147402405374 × 6371000     		do = 570.014471817104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19219069-1.19228657) × cos(0.36763610) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933179562597318 × 6371000     		du = 570.034116917951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36772557)-sin(0.36763610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933147402405374-0.933179562597318)×R²
    abs(1.19228657-1.19219069)×3.21601919446302e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.21601919446302e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.21601919446302e-05×40589641000000     		ar = 324921.469230949m²