Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 452 / 716
↖ ↑ ↗
← S 58.077876°
W 21.093750°		 ← 20.670 km → S 58.077876°
W 20.742188°		 →
↑
20.617 km
↓
↑
20.617 km
↓
S 58.263287°
W 21.093750°		 ← 20.563 km →
425.051 km²		 S 58.263287°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44189453125 y=0.69970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44189453125 × 210)
    floor (0.44189453125 × 1024)
    floor (452.5)     		tx = 452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69970703125 × 210)
    floor (0.69970703125 × 1024)
    floor (716.5)     		ty = 716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 452 / 716 ti = "10/452/716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/452/716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 452 ÷ 210
    452 ÷ 1024     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 716 ÷ 210
    716 ÷ 1024     		y = 0.69921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69921875 × 2 - 1) × π
    -0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25172832287891))-π/2
    2×atan(0.286010051727681)-π/2
    2×0.278573081686758-π/2
    0.557146163373516-1.57079632675     		φ = -1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 452 KachelY 716 -0.36815539 -1.01365016 -21.093750 -58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 453 KachelY 716 -0.36201947 -1.01365016 -20.742188 -58.077876
    Unten links KachelX 452 KachelY + 1 717 -0.36815539 -1.01688619 -21.093750 -58.263287
    Unten rechts KachelX + 1 453 KachelY + 1 717 -0.36201947 -1.01688619 -20.742188 -58.263287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01365016--1.01688619) × R
    0.00323602999999983 × 6371000     		dl = 20616.7471299989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01365016--1.01688619) × R
    0.00323602999999983 × 6371000     		dr = 20616.7471299989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36201947) × cos(-1.01365016) × R
    0.00613592000000002 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 20670.496518857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36201947) × cos(-1.01688619) × R
    0.00613592000000002 × 0.526016712216751 × 6371000     		du = 20563.0170774002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01365016)-sin(-1.01688619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.526016712216751)×R²
    abs(-0.36201947--0.36815539)×0.00274940113180788×R²
    0.00613592000000002×0.00274940113180788×6371000²
    0.00613592000000002×0.00274940113180788×40589641000000     		ar = 425050832.471577m²