Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45199 / 28864
↖ ↑ ↗
← N 20.961440°
E 68.285523°		 ← 570.37 m → N 20.961440°
E 68.291016°		 →
↑
570.40 m
↓
↑
570.40 m
↓
N 20.956310°
E 68.285523°		 ← 570.39 m →
325 340 m²		 N 20.956310°
E 68.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689689636230469 y=0.440437316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689689636230469 × 216)
    floor (0.689689636230469 × 65536)
    floor (45199.5)     		tx = 45199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440437316894531 × 216)
    floor (0.440437316894531 × 65536)
    floor (28864.5)     		ty = 28864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45199 / 28864 ti = "16/45199/28864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45199/28864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45199 ÷ 216
    45199 ÷ 65536     		x = 0.689682006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28864 ÷ 216
    28864 ÷ 65536     		y = 0.4404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689682006835938 × 2 - 1) × π
    0.379364013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19180720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374291312233398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19180720} λ = 1.19180720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374291312233398))-π/2
    2×atan(1.4539606452921)-π/2
    2×0.968321232004433-π/2
    1.93664246400887-1.57079632675     		φ = 0.36584614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19180720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.285523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36584614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.961440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45199 KachelY 28864 1.19180720 0.36584614 68.285523 20.961440
    Oben rechts KachelX + 1 45200 KachelY 28864 1.19190307 0.36584614 68.291016 20.961440
    Unten links KachelX 45199 KachelY + 1 28865 1.19180720 0.36575661 68.285523 20.956310
    Unten rechts KachelX + 1 45200 KachelY + 1 28865 1.19190307 0.36575661 68.291016 20.956310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36584614-0.36575661) × R
    8.95300000000043e-05 × 6371000     		dl = 570.395630000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36584614-0.36575661) × R
    8.95300000000043e-05 × 6371000     		dr = 570.395630000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19180720-1.19190307) × cos(0.36584614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933821397730396 × 6371000     		do = 570.366689098019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19180720-1.19190307) × cos(0.36575661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933853422411126 × 6371000     		du = 570.386249381347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36584614)-sin(0.36575661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933821397730396-0.933853422411126)×R²
    abs(1.19190307-1.19180720)×3.20246807293811e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20246807293811e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20246807293811e-05×40589641000000     		ar = 325340.245726592m²