Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45198 / 28862
↖ ↑ ↗
← N 20.971699°
E 68.280029°		 ← 570.39 m → N 20.971699°
E 68.285523°		 →
↑
570.40 m
↓
↑
570.40 m
↓
N 20.966569°
E 68.280029°		 ← 570.41 m →
325 352 m²		 N 20.966569°
E 68.285523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689674377441406 y=0.440406799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689674377441406 × 216)
    floor (0.689674377441406 × 65536)
    floor (45198.5)     		tx = 45198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440406799316406 × 216)
    floor (0.440406799316406 × 65536)
    floor (28862.5)     		ty = 28862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45198 / 28862 ti = "16/45198/28862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45198/28862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45198 ÷ 216
    45198 ÷ 65536     		x = 0.689666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28862 ÷ 216
    28862 ÷ 65536     		y = 0.440399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689666748046875 × 2 - 1) × π
    0.37933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19171132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440399169921875 × 2 - 1) × π
    0.11920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374483059831879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19171132} λ = 1.19171132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374483059831879))-π/2
    2×atan(1.45423946548481)-π/2
    2×0.96841075793868-π/2
    1.93682151587736-1.57079632675     		φ = 0.36602519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19171132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36602519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.971699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45198 KachelY 28862 1.19171132 0.36602519 68.280029 20.971699
    Oben rechts KachelX + 1 45199 KachelY 28862 1.19180720 0.36602519 68.285523 20.971699
    Unten links KachelX 45198 KachelY + 1 28863 1.19171132 0.36593566 68.280029 20.966569
    Unten rechts KachelX + 1 45199 KachelY + 1 28863 1.19180720 0.36593566 68.285523 20.966569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36602519-0.36593566) × R
    8.95300000000043e-05 × 6371000     		dl = 570.395630000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36602519-0.36593566) × R
    8.95300000000043e-05 × 6371000     		dr = 570.395630000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19171132-1.19180720) × cos(0.36602519) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933757329492787 × 6371000     		do = 570.387046681143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19171132-1.19180720) × cos(0.36593566) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.93378936914274 × 6371000     		du = 570.406618148735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36602519)-sin(0.36593566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933757329492787-0.93378936914274)×R²
    abs(1.19180720-1.19171132)×3.20396499532416e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20396499532416e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20396499532416e-05×40589641000000     		ar = 325351.860792688m²