Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45197 / 28851
↖ ↑ ↗
← N 21.028110°
E 68.274536°		 ← 570.11 m → N 21.028110°
E 68.280029°		 →
↑
570.14 m
↓
↑
570.14 m
↓
N 21.022982°
E 68.274536°		 ← 570.13 m →
325 050 m²		 N 21.022982°
E 68.280029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689659118652344 y=0.440238952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689659118652344 × 216)
    floor (0.689659118652344 × 65536)
    floor (45197.5)     		tx = 45197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440238952636719 × 216)
    floor (0.440238952636719 × 65536)
    floor (28851.5)     		ty = 28851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45197 / 28851 ti = "16/45197/28851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45197/28851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45197 ÷ 216
    45197 ÷ 65536     		x = 0.689651489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28851 ÷ 216
    28851 ÷ 65536     		y = 0.440231323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689651489257812 × 2 - 1) × π
    0.379302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19161545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440231323242188 × 2 - 1) × π
    0.119537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.37553767162352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19161545} λ = 1.19161545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37553767162352))-π/2
    2×atan(1.4557739325643)-π/2
    2×0.968903040691835-π/2
    1.93780608138367-1.57079632675     		φ = 0.36700975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19161545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.274536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36700975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.028110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45197 KachelY 28851 1.19161545 0.36700975 68.274536 21.028110
    Oben rechts KachelX + 1 45198 KachelY 28851 1.19171132 0.36700975 68.280029 21.028110
    Unten links KachelX 45197 KachelY + 1 28852 1.19161545 0.36692026 68.274536 21.022982
    Unten rechts KachelX + 1 45198 KachelY + 1 28852 1.19171132 0.36692026 68.280029 21.022982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36700975-0.36692026) × R
    8.94900000000254e-05 × 6371000     		dl = 570.140790000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36700975-0.36692026) × R
    8.94900000000254e-05 × 6371000     		dr = 570.140790000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19161545-1.19171132) × cos(0.36700975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933404496296324 × 6371000     		do = 570.112050800793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19161545-1.19171132) × cos(0.36692026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933436603890973 × 6371000     		du = 570.131661726928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36700975)-sin(0.36692026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933404496296324-0.933436603890973)×R²
    abs(1.19171132-1.19161545)×3.21075946486671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21075946486671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21075946486671e-05×40589641000000     		ar = 325049.725743508m²