Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45195 / 28861
↖ ↑ ↗
← N 20.976828°
E 68.263550°		 ← 570.37 m → N 20.976828°
E 68.269043°		 →
↑
570.33 m
↓
↑
570.33 m
↓
N 20.971699°
E 68.263550°		 ← 570.39 m →
325 304 m²		 N 20.971699°
E 68.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689628601074219 y=0.440391540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689628601074219 × 216)
    floor (0.689628601074219 × 65536)
    floor (45195.5)     		tx = 45195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440391540527344 × 216)
    floor (0.440391540527344 × 65536)
    floor (28861.5)     		ty = 28861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45195 / 28861 ti = "16/45195/28861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45195/28861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45195 ÷ 216
    45195 ÷ 65536     		x = 0.689620971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28861 ÷ 216
    28861 ÷ 65536     		y = 0.440383911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689620971679688 × 2 - 1) × π
    0.379241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19142370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440383911132812 × 2 - 1) × π
    0.119232177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.374578933631119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19142370} λ = 1.19142370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374578933631119))-π/2
    2×atan(1.45437889563112)-π/2
    2×0.968455518602049-π/2
    1.9369110372041-1.57079632675     		φ = 0.36611471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19142370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.263550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36611471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.976828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45195 KachelY 28861 1.19142370 0.36611471 68.263550 20.976828
    Oben rechts KachelX + 1 45196 KachelY 28861 1.19151958 0.36611471 68.269043 20.976828
    Unten links KachelX 45195 KachelY + 1 28862 1.19142370 0.36602519 68.263550 20.971699
    Unten rechts KachelX + 1 45196 KachelY + 1 28862 1.19151958 0.36602519 68.269043 20.971699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36611471-0.36602519) × R
    8.95200000000096e-05 × 6371000     		dl = 570.331920000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36611471-0.36602519) × R
    8.95200000000096e-05 × 6371000     		dr = 570.331920000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19142370-1.19151958) × cos(0.36611471) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933725285938093 × 6371000     		do = 570.367472828333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19142370-1.19151958) × cos(0.36602519) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933757329492787 × 6371000     		du = 570.387046681143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36611471)-sin(0.36602519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933725285938093-0.933757329492787)×R²
    abs(1.19151958-1.19142370)×3.20435546945497e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20435546945497e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20435546945497e-05×40589641000000     		ar = 325304.357897582m²