Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45195 / 28850
↖ ↑ ↗
← N 21.033237°
E 68.263550°		 ← 570.15 m → N 21.033237°
E 68.269043°		 →
↑
570.14 m
↓
↑
570.14 m
↓
N 21.028110°
E 68.263550°		 ← 570.17 m →
325 072 m²		 N 21.028110°
E 68.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689628601074219 y=0.440223693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689628601074219 × 216)
    floor (0.689628601074219 × 65536)
    floor (45195.5)     		tx = 45195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440223693847656 × 216)
    floor (0.440223693847656 × 65536)
    floor (28850.5)     		ty = 28850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45195 / 28850 ti = "16/45195/28850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45195/28850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45195 ÷ 216
    45195 ÷ 65536     		x = 0.689620971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28850 ÷ 216
    28850 ÷ 65536     		y = 0.440216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689620971679688 × 2 - 1) × π
    0.379241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19142370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440216064453125 × 2 - 1) × π
    0.11956787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.37563354542276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19142370} λ = 1.19142370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37563354542276))-π/2
    2×atan(1.45591350983285)-π/2
    2×0.968947784439698-π/2
    1.9378955688794-1.57079632675     		φ = 0.36709924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19142370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.263550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36709924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.033237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45195 KachelY 28850 1.19142370 0.36709924 68.263550 21.033237
    Oben rechts KachelX + 1 45196 KachelY 28850 1.19151958 0.36709924 68.269043 21.033237
    Unten links KachelX 45195 KachelY + 1 28851 1.19142370 0.36700975 68.263550 21.028110
    Unten rechts KachelX + 1 45196 KachelY + 1 28851 1.19151958 0.36700975 68.269043 21.028110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36709924-0.36700975) × R
    8.94899999999699e-05 × 6371000     		dl = 570.140789999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36709924-0.36700975) × R
    8.94899999999699e-05 × 6371000     		dr = 570.140789999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19142370-1.19151958) × cos(0.36709924) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933372381226543 × 6371000     		do = 570.151900462984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19142370-1.19151958) × cos(0.36700975) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933404496296324 × 6371000     		du = 570.17151800089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36709924)-sin(0.36700975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933372381226543-0.933404496296324)×R²
    abs(1.19151958-1.19142370)×3.21150697814021e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.21150697814021e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.21150697814021e-05×40589641000000     		ar = 325072.44754609m²