Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45193 / 28854
↖ ↑ ↗
← N 21.012727°
E 68.252564°		 ← 570.17 m → N 21.012727°
E 68.258057°		 →
↑
570.20 m
↓
↑
570.20 m
↓
N 21.007599°
E 68.252564°		 ← 570.19 m →
325 120 m²		 N 21.007599°
E 68.258057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689598083496094 y=0.440284729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689598083496094 × 216)
    floor (0.689598083496094 × 65536)
    floor (45193.5)     		tx = 45193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440284729003906 × 216)
    floor (0.440284729003906 × 65536)
    floor (28854.5)     		ty = 28854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45193 / 28854 ti = "16/45193/28854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45193/28854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45193 ÷ 216
    45193 ÷ 65536     		x = 0.689590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28854 ÷ 216
    28854 ÷ 65536     		y = 0.440277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689590454101562 × 2 - 1) × π
    0.379180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19123196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440277099609375 × 2 - 1) × π
    0.11944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3752500502258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19123196} λ = 1.19123196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3752500502258))-π/2
    2×atan(1.45535528104051)-π/2
    2×0.968768800213659-π/2
    1.93753760042732-1.57079632675     		φ = 0.36674127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19123196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.252564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36674127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.012727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45193 KachelY 28854 1.19123196 0.36674127 68.252564 21.012727
    Oben rechts KachelX + 1 45194 KachelY 28854 1.19132783 0.36674127 68.258057 21.012727
    Unten links KachelX 45193 KachelY + 1 28855 1.19123196 0.36665177 68.252564 21.007599
    Unten rechts KachelX + 1 45194 KachelY + 1 28855 1.19132783 0.36665177 68.258057 21.007599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36674127-0.36665177) × R
    8.95000000000201e-05 × 6371000     		dl = 570.204500000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36674127-0.36665177) × R
    8.95000000000201e-05 × 6371000     		dr = 570.204500000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19123196-1.19132783) × cos(0.36674127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933500800239597 × 6371000     		do = 570.170872071546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19123196-1.19132783) × cos(0.36665177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933532888991388 × 6371000     		du = 570.190471488695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36674127)-sin(0.36665177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933500800239597-0.933532888991388)×R²
    abs(1.19132783-1.19123196)×3.20887517905044e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20887517905044e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20887517905044e-05×40589641000000     		ar = 325119.585079252m²