Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45192 / 28856
↖ ↑ ↗
← N 21.002471°
E 68.247070°		 ← 570.27 m → N 21.002471°
E 68.252564°		 →
↑
570.20 m
↓
↑
570.20 m
↓
N 20.997343°
E 68.247070°		 ← 570.29 m →
325 176 m²		 N 20.997343°
E 68.252564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689582824707031 y=0.440315246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689582824707031 × 216)
    floor (0.689582824707031 × 65536)
    floor (45192.5)     		tx = 45192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440315246582031 × 216)
    floor (0.440315246582031 × 65536)
    floor (28856.5)     		ty = 28856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45192 / 28856 ti = "16/45192/28856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45192/28856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45192 ÷ 216
    45192 ÷ 65536     		x = 0.6895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28856 ÷ 216
    28856 ÷ 65536     		y = 0.4403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6895751953125 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19113608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4403076171875 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.375058302627319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19113608} λ = 1.19113608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.375058302627319))-π/2
    2×atan(1.45507624691335)-π/2
    2×0.968679298869109-π/2
    1.93735859773822-1.57079632675     		φ = 0.36656227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19113608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36656227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.002471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45192 KachelY 28856 1.19113608 0.36656227 68.247070 21.002471
    Oben rechts KachelX + 1 45193 KachelY 28856 1.19123196 0.36656227 68.252564 21.002471
    Unten links KachelX 45192 KachelY + 1 28857 1.19113608 0.36647277 68.247070 20.997343
    Unten rechts KachelX + 1 45193 KachelY + 1 28857 1.19123196 0.36647277 68.252564 20.997343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36656227-0.36647277) × R
    8.95000000000201e-05 × 6371000     		dl = 570.204500000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36656227-0.36647277) × R
    8.95000000000201e-05 × 6371000     		dr = 570.204500000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19113608-1.19123196) × cos(0.36656227) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.933564970265346 × 6371000     		do = 570.269543763689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19113608-1.19123196) × cos(0.36647277) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.933597044061216 × 6371000     		du = 570.289136089366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36656227)-sin(0.36647277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933564970265346-0.933597044061216)×R²
    abs(1.19123196-1.19113608)×3.20737958698913e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.20737958698913e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.20737958698913e-05×40589641000000     		ar = 325175.846100229m²