Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45192 / 28855
↖ ↑ ↗
← N 21.007599°
E 68.247070°		 ← 570.25 m → N 21.007599°
E 68.252564°		 →
↑
570.20 m
↓
↑
570.20 m
↓
N 21.002471°
E 68.247070°		 ← 570.27 m →
325 165 m²		 N 21.002471°
E 68.252564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689582824707031 y=0.440299987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689582824707031 × 216)
    floor (0.689582824707031 × 65536)
    floor (45192.5)     		tx = 45192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440299987792969 × 216)
    floor (0.440299987792969 × 65536)
    floor (28855.5)     		ty = 28855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45192 / 28855 ti = "16/45192/28855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45192/28855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45192 ÷ 216
    45192 ÷ 65536     		x = 0.6895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28855 ÷ 216
    28855 ÷ 65536     		y = 0.440292358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6895751953125 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19113608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440292358398438 × 2 - 1) × π
    0.119415283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.375154176426559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19113608} λ = 1.19113608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.375154176426559))-π/2
    2×atan(1.45521575728891)-π/2
    2×0.968724050310424-π/2
    1.93744810062085-1.57079632675     		φ = 0.36665177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19113608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36665177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.007599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45192 KachelY 28855 1.19113608 0.36665177 68.247070 21.007599
    Oben rechts KachelX + 1 45193 KachelY 28855 1.19123196 0.36665177 68.252564 21.007599
    Unten links KachelX 45192 KachelY + 1 28856 1.19113608 0.36656227 68.247070 21.002471
    Unten rechts KachelX + 1 45193 KachelY + 1 28856 1.19123196 0.36656227 68.252564 21.002471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36665177-0.36656227) × R
    8.94999999999646e-05 × 6371000     		dl = 570.204499999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36665177-0.36656227) × R
    8.94999999999646e-05 × 6371000     		dr = 570.204499999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19113608-1.19123196) × cos(0.36665177) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.933532888991388 × 6371000     		do = 570.249946870012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19113608-1.19123196) × cos(0.36656227) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.933564970265346 × 6371000     		du = 570.269543763689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36665177)-sin(0.36656227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933532888991388-0.933564970265346)×R²
    abs(1.19123196-1.19113608)×3.20812739585952e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.20812739585952e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.20812739585952e-05×40589641000000     		ar = 325164.673165398m²