Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45188 / 28868
↖ ↑ ↗
← N 20.940920°
E 68.225098°		 ← 570.44 m → N 20.940920°
E 68.230591°		 →
↑
570.52 m
↓
↑
570.52 m
↓
N 20.935789°
E 68.225098°		 ← 570.46 m →
325 458 m²		 N 20.935789°
E 68.230591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689521789550781 y=0.440498352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689521789550781 × 216)
    floor (0.689521789550781 × 65536)
    floor (45188.5)     		tx = 45188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440498352050781 × 216)
    floor (0.440498352050781 × 65536)
    floor (28868.5)     		ty = 28868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45188 / 28868 ti = "16/45188/28868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45188/28868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45188 ÷ 216
    45188 ÷ 65536     		x = 0.68951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28868 ÷ 216
    28868 ÷ 65536     		y = 0.44049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68951416015625 × 2 - 1) × π
    0.3790283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19075259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44049072265625 × 2 - 1) × π
    0.1190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.373907817036438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19075259} λ = 1.19075259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373907817036438))-π/2
    2×atan(1.45340316527035)-π/2
    2×0.968142161714474-π/2
    1.93628432342895-1.57079632675     		φ = 0.36548800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19075259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.225098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36548800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.940920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45188 KachelY 28868 1.19075259 0.36548800 68.225098 20.940920
    Oben rechts KachelX + 1 45189 KachelY 28868 1.19084846 0.36548800 68.230591 20.940920
    Unten links KachelX 45188 KachelY + 1 28869 1.19075259 0.36539845 68.225098 20.935789
    Unten rechts KachelX + 1 45189 KachelY + 1 28869 1.19084846 0.36539845 68.230591 20.935789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36548800-0.36539845) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dl = 570.523049999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36548800-0.36539845) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dr = 570.523049999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19075259-1.19084846) × cos(0.36548800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9339494586879 × 6371000     		do = 570.444907164677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19075259-1.19084846) × cos(0.36539845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933981460570187 × 6371000     		du = 570.464453522995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36548800)-sin(0.36539845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9339494586879-0.933981460570187)×R²
    abs(1.19084846-1.19075259)×3.20018822870249e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20018822870249e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20018822870249e-05×40589641000000     		ar = 325457.544334132m²