Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45183 / 28879
↖ ↑ ↗
← N 20.884475°
E 68.197632°		 ← 570.66 m → N 20.884475°
E 68.203125°		 →
↑
570.71 m
↓
↑
570.71 m
↓
N 20.879343°
E 68.197632°		 ← 570.68 m →
325 689 m²		 N 20.879343°
E 68.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689445495605469 y=0.440666198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689445495605469 × 216)
    floor (0.689445495605469 × 65536)
    floor (45183.5)     		tx = 45183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440666198730469 × 216)
    floor (0.440666198730469 × 65536)
    floor (28879.5)     		ty = 28879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45183 / 28879 ti = "16/45183/28879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45183/28879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45183 ÷ 216
    45183 ÷ 65536     		x = 0.689437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28879 ÷ 216
    28879 ÷ 65536     		y = 0.440658569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689437866210938 × 2 - 1) × π
    0.378875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19027322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440658569335938 × 2 - 1) × π
    0.118682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.372853205244797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19027322} λ = 1.19027322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372853205244797))-π/2
    2×atan(1.45187119711207)-π/2
    2×0.967649591912757-π/2
    1.93529918382551-1.57079632675     		φ = 0.36450286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19027322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36450286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.884475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45183 KachelY 28879 1.19027322 0.36450286 68.197632 20.884475
    Oben rechts KachelX + 1 45184 KachelY 28879 1.19036909 0.36450286 68.203125 20.884475
    Unten links KachelX 45183 KachelY + 1 28880 1.19027322 0.36441328 68.197632 20.879343
    Unten rechts KachelX + 1 45184 KachelY + 1 28880 1.19036909 0.36441328 68.203125 20.879343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36450286-0.36441328) × R
    8.9579999999978e-05 × 6371000     		dl = 570.71417999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36450286-0.36441328) × R
    8.9579999999978e-05 × 6371000     		dr = 570.71417999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19027322-1.19036909) × cos(0.36450286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934301099496129 × 6371000     		do = 570.659685069776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19027322-1.19036909) × cos(0.36441328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934333029661168 × 6371000     		du = 570.679187624076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36450286)-sin(0.36441328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934301099496129-0.934333029661168)×R²
    abs(1.19036909-1.19027322)×3.1930165039773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1930165039773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1930165039773e-05×40589641000000     		ar = 325689.139633386m²