Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45183 / 28842
↖ ↑ ↗
← N 21.074249°
E 68.197632°		 ← 569.94 m → N 21.074249°
E 68.203125°		 →
↑
569.95 m
↓
↑
569.95 m
↓
N 21.069123°
E 68.197632°		 ← 569.96 m →
324 840 m²		 N 21.069123°
E 68.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689445495605469 y=0.440101623535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689445495605469 × 216)
    floor (0.689445495605469 × 65536)
    floor (45183.5)     		tx = 45183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440101623535156 × 216)
    floor (0.440101623535156 × 65536)
    floor (28842.5)     		ty = 28842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45183 / 28842 ti = "16/45183/28842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45183/28842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45183 ÷ 216
    45183 ÷ 65536     		x = 0.689437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28842 ÷ 216
    28842 ÷ 65536     		y = 0.440093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689437866210938 × 2 - 1) × π
    0.378875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19027322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440093994140625 × 2 - 1) × π
    0.11981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376400535816681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19027322} λ = 1.19027322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376400535816681))-π/2
    2×atan(1.457030609857)-π/2
    2×0.969305678971137-π/2
    1.93861135794227-1.57079632675     		φ = 0.36781503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19027322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36781503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.074249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45183 KachelY 28842 1.19027322 0.36781503 68.197632 21.074249
    Oben rechts KachelX + 1 45184 KachelY 28842 1.19036909 0.36781503 68.203125 21.074249
    Unten links KachelX 45183 KachelY + 1 28843 1.19027322 0.36772557 68.197632 21.069123
    Unten rechts KachelX + 1 45184 KachelY + 1 28843 1.19036909 0.36772557 68.203125 21.069123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36781503-0.36772557) × R
    8.94599999999857e-05 × 6371000     		dl = 569.949659999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36781503-0.36772557) × R
    8.94599999999857e-05 × 6371000     		dr = 569.949659999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19027322-1.19036909) × cos(0.36781503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93311523833947 × 6371000     		do = 569.935375578371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19027322-1.19036909) × cos(0.36772557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933147402405374 × 6371000     		du = 569.955020996458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36781503)-sin(0.36772557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93311523833947-0.933147402405374)×R²
    abs(1.19036909-1.19027322)×3.21640659037836e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21640659037836e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21640659037836e-05×40589641000000     		ar = 324840.072199204m²