Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45182 / 28846
↖ ↑ ↗
← N 21.053744°
E 68.192138°		 ← 570.07 m → N 21.053744°
E 68.197632°		 →
↑
570.01 m
↓
↑
570.01 m
↓
N 21.048618°
E 68.192138°		 ← 570.09 m →
324 955 m²		 N 21.048618°
E 68.197632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689430236816406 y=0.440162658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689430236816406 × 216)
    floor (0.689430236816406 × 65536)
    floor (45182.5)     		tx = 45182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440162658691406 × 216)
    floor (0.440162658691406 × 65536)
    floor (28846.5)     		ty = 28846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45182 / 28846 ti = "16/45182/28846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45182/28846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45182 ÷ 216
    45182 ÷ 65536     		x = 0.689422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28846 ÷ 216
    28846 ÷ 65536     		y = 0.440155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689422607421875 × 2 - 1) × π
    0.37884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19017734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440155029296875 × 2 - 1) × π
    0.11968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.37601704061972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19017734} λ = 1.19017734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37601704061972))-π/2
    2×atan(1.4564719527443)-π/2
    2×0.969126744032035-π/2
    1.93825348806407-1.57079632675     		φ = 0.36745716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19017734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.192138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36745716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.053744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45182 KachelY 28846 1.19017734 0.36745716 68.192138 21.053744
    Oben rechts KachelX + 1 45183 KachelY 28846 1.19027322 0.36745716 68.197632 21.053744
    Unten links KachelX 45182 KachelY + 1 28847 1.19017734 0.36736769 68.192138 21.048618
    Unten rechts KachelX + 1 45183 KachelY + 1 28847 1.19027322 0.36736769 68.197632 21.048618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36745716-0.36736769) × R
    8.94699999999804e-05 × 6371000     		dl = 570.013369999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36745716-0.36736769) × R
    8.94699999999804e-05 × 6371000     		dr = 570.013369999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19017734-1.19027322) × cos(0.36745716) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933243860570976 × 6371000     		do = 570.073393430321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19017734-1.19027322) × cos(0.36736769) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933275998352175 × 6371000     		du = 570.09302484153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36745716)-sin(0.36736769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933243860570976-0.933275998352175)×R²
    abs(1.19027322-1.19017734)×3.21377811988155e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.21377811988155e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.21377811988155e-05×40589641000000     		ar = 324955.05143665m²