Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45180 / 28932
↖ ↑ ↗
← N 20.612220°
E 68.181153°		 ← 571.69 m → N 20.612220°
E 68.186646°		 →
↑
571.73 m
↓
↑
571.73 m
↓
N 20.607078°
E 68.181153°		 ← 571.71 m →
326 859 m²		 N 20.607078°
E 68.186646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689399719238281 y=0.441474914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689399719238281 × 216)
    floor (0.689399719238281 × 65536)
    floor (45180.5)     		tx = 45180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441474914550781 × 216)
    floor (0.441474914550781 × 65536)
    floor (28932.5)     		ty = 28932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45180 / 28932 ti = "16/45180/28932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45180/28932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45180 ÷ 216
    45180 ÷ 65536     		x = 0.68939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28932 ÷ 216
    28932 ÷ 65536     		y = 0.44146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68939208984375 × 2 - 1) × π
    0.3787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18998560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44146728515625 × 2 - 1) × π
    0.1170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.367771893885071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18998560} λ = 1.18998560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.367771893885071))-π/2
    2×atan(1.44451249925612)-π/2
    2×0.965273712246652-π/2
    1.9305474244933-1.57079632675     		φ = 0.35975110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18998560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.181153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35975110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.612220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45180 KachelY 28932 1.18998560 0.35975110 68.181153 20.612220
    Oben rechts KachelX + 1 45181 KachelY 28932 1.19008147 0.35975110 68.186646 20.612220
    Unten links KachelX 45180 KachelY + 1 28933 1.18998560 0.35966136 68.181153 20.607078
    Unten rechts KachelX + 1 45181 KachelY + 1 28933 1.19008147 0.35966136 68.186646 20.607078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35975110-0.35966136) × R
    8.97400000000048e-05 × 6371000     		dl = 571.733540000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35975110-0.35966136) × R
    8.97400000000048e-05 × 6371000     		dr = 571.733540000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18998560-1.19008147) × cos(0.35975110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935984475743722 × 6371000     		do = 571.687870694114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18998560-1.19008147) × cos(0.35966136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936016064159068 × 6371000     		du = 571.707164511882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35975110)-sin(0.35966136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935984475743722-0.936016064159068)×R²
    abs(1.19008147-1.18998560)×3.15884153467838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15884153467838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15884153467838e-05×40589641000000     		ar = 326858.645767585m²