Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45180 / 28875
↖ ↑ ↗
← N 20.905003°
E 68.181153°		 ← 570.58 m → N 20.905003°
E 68.186646°		 →
↑
570.59 m
↓
↑
570.59 m
↓
N 20.899871°
E 68.181153°		 ← 570.60 m →
325 572 m²		 N 20.899871°
E 68.186646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689399719238281 y=0.440605163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689399719238281 × 216)
    floor (0.689399719238281 × 65536)
    floor (45180.5)     		tx = 45180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440605163574219 × 216)
    floor (0.440605163574219 × 65536)
    floor (28875.5)     		ty = 28875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45180 / 28875 ti = "16/45180/28875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45180/28875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45180 ÷ 216
    45180 ÷ 65536     		x = 0.68939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28875 ÷ 216
    28875 ÷ 65536     		y = 0.440597534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68939208984375 × 2 - 1) × π
    0.3787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18998560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440597534179688 × 2 - 1) × π
    0.118804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.373236700441757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18998560} λ = 1.18998560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373236700441757))-π/2
    2×atan(1.45242808951873)-π/2
    2×0.967828729655953-π/2
    1.93565745931191-1.57079632675     		φ = 0.36486113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18998560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.181153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36486113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.905003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45180 KachelY 28875 1.18998560 0.36486113 68.181153 20.905003
    Oben rechts KachelX + 1 45181 KachelY 28875 1.19008147 0.36486113 68.186646 20.905003
    Unten links KachelX 45180 KachelY + 1 28876 1.18998560 0.36477157 68.181153 20.899871
    Unten rechts KachelX + 1 45181 KachelY + 1 28876 1.19008147 0.36477157 68.186646 20.899871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36486113-0.36477157) × R
    8.95599999999885e-05 × 6371000     		dl = 570.586759999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36486113-0.36477157) × R
    8.95599999999885e-05 × 6371000     		dr = 570.586759999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18998560-1.19008147) × cos(0.36486113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934173321705807 × 6371000     		do = 570.58163995817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18998560-1.19008147) × cos(0.36477157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934205274719889 × 6371000     		du = 570.601156468386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36486113)-sin(0.36477157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934173321705807-0.934205274719889)×R²
    abs(1.19008147-1.18998560)×3.19530140818758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19530140818758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19530140818758e-05×40589641000000     		ar = 325571.897408041m²