Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45179 / 28867
↖ ↑ ↗
← N 20.946050°
E 68.175659°		 ← 570.48 m → N 20.946050°
E 68.181153°		 →
↑
570.46 m
↓
↑
570.46 m
↓
N 20.940920°
E 68.175659°		 ← 570.50 m →
325 444 m²		 N 20.940920°
E 68.181153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689384460449219 y=0.440483093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689384460449219 × 216)
    floor (0.689384460449219 × 65536)
    floor (45179.5)     		tx = 45179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440483093261719 × 216)
    floor (0.440483093261719 × 65536)
    floor (28867.5)     		ty = 28867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45179 / 28867 ti = "16/45179/28867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45179/28867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45179 ÷ 216
    45179 ÷ 65536     		x = 0.689376831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28867 ÷ 216
    28867 ÷ 65536     		y = 0.440475463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689376831054688 × 2 - 1) × π
    0.378753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18988972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440475463867188 × 2 - 1) × π
    0.119049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374003690835678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18988972} λ = 1.18988972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374003690835678))-π/2
    2×atan(1.45354251523353)-π/2
    2×0.968186931588881-π/2
    1.93637386317776-1.57079632675     		φ = 0.36557754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18988972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36557754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.946050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45179 KachelY 28867 1.18988972 0.36557754 68.175659 20.946050
    Oben rechts KachelX + 1 45180 KachelY 28867 1.18998560 0.36557754 68.181153 20.946050
    Unten links KachelX 45179 KachelY + 1 28868 1.18988972 0.36548800 68.175659 20.940920
    Unten rechts KachelX + 1 45180 KachelY + 1 28868 1.18998560 0.36548800 68.181153 20.940920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36557754-0.36548800) × R
    8.95399999999991e-05 × 6371000     		dl = 570.459339999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36557754-0.36548800) × R
    8.95399999999991e-05 × 6371000     		dr = 570.459339999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18988972-1.18998560) × cos(0.36557754) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.93391745289097 × 6371000     		do = 570.484858295905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18988972-1.18998560) × cos(0.36548800) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.9339494586879 × 6371000     		du = 570.504409084328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36557754)-sin(0.36548800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93391745289097-0.9339494586879)×R²
    abs(1.18998560-1.18988972)×3.2005796929413e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2005796929413e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2005796929413e-05×40589641000000     		ar = 325443.992425788m²