Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45177 / 28871
↖ ↑ ↗
← N 20.925528°
E 68.164673°		 ← 570.56 m → N 20.925528°
E 68.170166°		 →
↑
570.52 m
↓
↑
570.52 m
↓
N 20.920397°
E 68.164673°		 ← 570.58 m →
325 525 m²		 N 20.920397°
E 68.170166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689353942871094 y=0.440544128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689353942871094 × 216)
    floor (0.689353942871094 × 65536)
    floor (45177.5)     		tx = 45177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440544128417969 × 216)
    floor (0.440544128417969 × 65536)
    floor (28871.5)     		ty = 28871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45177 / 28871 ti = "16/45177/28871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45177/28871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45177 ÷ 216
    45177 ÷ 65536     		x = 0.689346313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28871 ÷ 216
    28871 ÷ 65536     		y = 0.440536499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689346313476562 × 2 - 1) × π
    0.378692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18969797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440536499023438 × 2 - 1) × π
    0.118927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.373620195638718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18969797} λ = 1.18969797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373620195638718))-π/2
    2×atan(1.4529851955319)-π/2
    2×0.968007842887871-π/2
    1.93601568577574-1.57079632675     		φ = 0.36521936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18969797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.164673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36521936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.925528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45177 KachelY 28871 1.18969797 0.36521936 68.164673 20.925528
    Oben rechts KachelX + 1 45178 KachelY 28871 1.18979385 0.36521936 68.170166 20.925528
    Unten links KachelX 45177 KachelY + 1 28872 1.18969797 0.36512981 68.164673 20.920397
    Unten rechts KachelX + 1 45178 KachelY + 1 28872 1.18979385 0.36512981 68.170166 20.920397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36521936-0.36512981) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dl = 570.523049999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36521936-0.36512981) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dr = 570.523049999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18969797-1.18979385) × cos(0.36521936) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.934045438293603 × 6371000     		do = 570.563038368522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18969797-1.18979385) × cos(0.36512981) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.934077417706597 × 6371000     		du = 570.582573040279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36521936)-sin(0.36512981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934045438293603-0.934077417706597)×R²
    abs(1.18979385-1.18969797)×3.19794129943762e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.19794129943762e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.19794129943762e-05×40589641000000     		ar = 325524.93757501m²