Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45174 / 28838
↖ ↑ ↗
← N 21.094750°
E 68.148193°		 ← 569.92 m → N 21.094750°
E 68.153687°		 →
↑
569.89 m
↓
↑
569.89 m
↓
N 21.089625°
E 68.148193°		 ← 569.94 m →
324 793 m²		 N 21.089625°
E 68.153687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689308166503906 y=0.440040588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689308166503906 × 216)
    floor (0.689308166503906 × 65536)
    floor (45174.5)     		tx = 45174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440040588378906 × 216)
    floor (0.440040588378906 × 65536)
    floor (28838.5)     		ty = 28838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45174 / 28838 ti = "16/45174/28838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45174/28838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45174 ÷ 216
    45174 ÷ 65536     		x = 0.689300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28838 ÷ 216
    28838 ÷ 65536     		y = 0.440032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689300537109375 × 2 - 1) × π
    0.37860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18941035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440032958984375 × 2 - 1) × π
    0.11993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.376784031013641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18941035} λ = 1.18941035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376784031013641))-π/2
    2×atan(1.4575894812531)-π/2
    2×0.969484589237487-π/2
    1.93896917847497-1.57079632675     		φ = 0.36817285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18941035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36817285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.094750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45174 KachelY 28838 1.18941035 0.36817285 68.148193 21.094750
    Oben rechts KachelX + 1 45175 KachelY 28838 1.18950623 0.36817285 68.153687 21.094750
    Unten links KachelX 45174 KachelY + 1 28839 1.18941035 0.36808340 68.148193 21.089625
    Unten rechts KachelX + 1 45175 KachelY + 1 28839 1.18950623 0.36808340 68.153687 21.089625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36817285-0.36808340) × R
    8.94499999999909e-05 × 6371000     		dl = 569.885949999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36817285-0.36808340) × R
    8.94499999999909e-05 × 6371000     		dr = 569.885949999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18941035-1.18950623) × cos(0.36817285) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.932986514598589 × 6371000     		do = 569.916193263536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18941035-1.18950623) × cos(0.36808340) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.933018704934227 × 6371000     		du = 569.935856777702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36817285)-sin(0.36808340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932986514598589-0.933018704934227)×R²
    abs(1.18950623-1.18941035)×3.21903356376163e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.21903356376163e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.21903356376163e-05×40589641000000     		ar = 324792.834415024m²