Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45171 / 28885
↖ ↑ ↗
← N 20.853678°
E 68.131714°		 ← 570.84 m → N 20.853678°
E 68.137207°		 →
↑
570.78 m
↓
↑
570.78 m
↓
N 20.848545°
E 68.131714°		 ← 570.86 m →
325 826 m²		 N 20.848545°
E 68.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689262390136719 y=0.440757751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689262390136719 × 216)
    floor (0.689262390136719 × 65536)
    floor (45171.5)     		tx = 45171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440757751464844 × 216)
    floor (0.440757751464844 × 65536)
    floor (28885.5)     		ty = 28885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45171 / 28885 ti = "16/45171/28885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45171/28885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45171 ÷ 216
    45171 ÷ 65536     		x = 0.689254760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28885 ÷ 216
    28885 ÷ 65536     		y = 0.440750122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689254760742188 × 2 - 1) × π
    0.378509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18912273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440750122070312 × 2 - 1) × π
    0.118499755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.372277962449356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18912273} λ = 1.18912273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372277962449356))-π/2
    2×atan(1.45103625883517)-π/2
    2×0.96738083938229-π/2
    1.93476167876458-1.57079632675     		φ = 0.36396535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18912273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.131714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36396535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.853678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45171 KachelY 28885 1.18912273 0.36396535 68.131714 20.853678
    Oben rechts KachelX + 1 45172 KachelY 28885 1.18921861 0.36396535 68.137207 20.853678
    Unten links KachelX 45171 KachelY + 1 28886 1.18912273 0.36387576 68.131714 20.848545
    Unten rechts KachelX + 1 45172 KachelY + 1 28886 1.18921861 0.36387576 68.137207 20.848545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36396535-0.36387576) × R
    8.95900000000283e-05 × 6371000     		dl = 570.77789000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36396535-0.36387576) × R
    8.95900000000283e-05 × 6371000     		dr = 570.77789000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18912273-1.18921861) × cos(0.36396535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.934492578696322 × 6371000     		do = 570.83617474529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18912273-1.18921861) × cos(0.36387576) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.934524467428237 × 6371000     		du = 570.855654024376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36396535)-sin(0.36387576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934492578696322-0.934524467428237)×R²
    abs(1.18921861-1.18912273)×3.18887319153971e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.18887319153971e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.18887319153971e-05×40589641000000     		ar = 325826.226745634m²