Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45169 / 28805
↖ ↑ ↗
← N 21.263780°
E 68.120727°		 ← 569.27 m → N 21.263780°
E 68.126221°		 →
↑
569.25 m
↓
↑
569.25 m
↓
N 21.258661°
E 68.120727°		 ← 569.28 m →
324 059 m²		 N 21.258661°
E 68.126221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689231872558594 y=0.439537048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689231872558594 × 216)
    floor (0.689231872558594 × 65536)
    floor (45169.5)     		tx = 45169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439537048339844 × 216)
    floor (0.439537048339844 × 65536)
    floor (28805.5)     		ty = 28805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45169 / 28805 ti = "16/45169/28805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45169/28805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45169 ÷ 216
    45169 ÷ 65536     		x = 0.689224243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28805 ÷ 216
    28805 ÷ 65536     		y = 0.439529418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689224243164062 × 2 - 1) × π
    0.378448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18893098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439529418945312 × 2 - 1) × π
    0.120941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.379947866388565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18893098} λ = 1.18893098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379947866388565))-π/2
    2×atan(1.46220835724478)-π/2
    2×0.970959654976447-π/2
    1.94191930995289-1.57079632675     		φ = 0.37112298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18893098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.120727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37112298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.263780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45169 KachelY 28805 1.18893098 0.37112298 68.120727 21.263780
    Oben rechts KachelX + 1 45170 KachelY 28805 1.18902686 0.37112298 68.126221 21.263780
    Unten links KachelX 45169 KachelY + 1 28806 1.18893098 0.37103363 68.120727 21.258661
    Unten rechts KachelX + 1 45170 KachelY + 1 28806 1.18902686 0.37103363 68.126221 21.258661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37112298-0.37103363) × R
    8.93499999999881e-05 × 6371000     		dl = 569.248849999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37112298-0.37103363) × R
    8.93499999999881e-05 × 6371000     		dr = 569.248849999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18893098-1.18902686) × cos(0.37112298) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931920670922073 × 6371000     		do = 569.265121074968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18893098-1.18902686) × cos(0.37103363) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931953071068632 × 6371000     		du = 569.284912752446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37112298)-sin(0.37103363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931920670922073-0.931953071068632)×R²
    abs(1.18902686-1.18893098)×3.24001465583645e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24001465583645e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24001465583645e-05×40589641000000     		ar = 324059.14892741m²