Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45163 / 28804
↖ ↑ ↗
← N 21.268900°
E 68.087768°		 ← 569.25 m → N 21.268900°
E 68.093262°		 →
↑
569.25 m
↓
↑
569.25 m
↓
N 21.263780°
E 68.087768°		 ← 569.27 m →
324 048 m²		 N 21.263780°
E 68.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689140319824219 y=0.439521789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689140319824219 × 216)
    floor (0.689140319824219 × 65536)
    floor (45163.5)     		tx = 45163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439521789550781 × 216)
    floor (0.439521789550781 × 65536)
    floor (28804.5)     		ty = 28804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45163 / 28804 ti = "16/45163/28804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45163/28804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45163 ÷ 216
    45163 ÷ 65536     		x = 0.689132690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28804 ÷ 216
    28804 ÷ 65536     		y = 0.43951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689132690429688 × 2 - 1) × π
    0.378265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18835574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    0.1209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.380043740187805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18835574} λ = 1.18835574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380043740187805))-π/2
    2×atan(1.46234855143564)-π/2
    2×0.971004327587355-π/2
    1.94200865517471-1.57079632675     		φ = 0.37121233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18835574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.087768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37121233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.268900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45163 KachelY 28804 1.18835574 0.37121233 68.087768 21.268900
    Oben rechts KachelX + 1 45164 KachelY 28804 1.18845162 0.37121233 68.093262 21.268900
    Unten links KachelX 45163 KachelY + 1 28805 1.18835574 0.37112298 68.087768 21.263780
    Unten rechts KachelX + 1 45164 KachelY + 1 28805 1.18845162 0.37112298 68.093262 21.263780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37121233-0.37112298) × R
    8.93499999999881e-05 × 6371000     		dl = 569.248849999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37121233-0.37112298) × R
    8.93499999999881e-05 × 6371000     		dr = 569.248849999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18835574-1.18845162) × cos(0.37121233) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931888263335598 × 6371000     		do = 569.245324852807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18835574-1.18845162) × cos(0.37112298) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931920670922073 × 6371000     		du = 569.265121074968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37121233)-sin(0.37112298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931888263335598-0.931920670922073)×R²
    abs(1.18845162-1.18835574)×3.24075864749362e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24075864749362e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24075864749362e-05×40589641000000     		ar = 324047.88124409m²