Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45163 / 28799
↖ ↑ ↗
← N 21.294493°
E 68.087768°		 ← 569.15 m → N 21.294493°
E 68.093262°		 →
↑
569.12 m
↓
↑
569.12 m
↓
N 21.289374°
E 68.087768°		 ← 569.17 m →
323 919 m²		 N 21.289374°
E 68.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689140319824219 y=0.439445495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689140319824219 × 216)
    floor (0.689140319824219 × 65536)
    floor (45163.5)     		tx = 45163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439445495605469 × 216)
    floor (0.439445495605469 × 65536)
    floor (28799.5)     		ty = 28799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45163 / 28799 ti = "16/45163/28799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45163/28799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45163 ÷ 216
    45163 ÷ 65536     		x = 0.689132690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28799 ÷ 216
    28799 ÷ 65536     		y = 0.439437866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689132690429688 × 2 - 1) × π
    0.378265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18835574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439437866210938 × 2 - 1) × π
    0.121124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.380523109184006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18835574} λ = 1.18835574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380523109184006))-π/2
    2×atan(1.46304972403961)-π/2
    2×0.971227667332035-π/2
    1.94245533466407-1.57079632675     		φ = 0.37165901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18835574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.087768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37165901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.294493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45163 KachelY 28799 1.18835574 0.37165901 68.087768 21.294493
    Oben rechts KachelX + 1 45164 KachelY 28799 1.18845162 0.37165901 68.093262 21.294493
    Unten links KachelX 45163 KachelY + 1 28800 1.18835574 0.37156968 68.087768 21.289374
    Unten rechts KachelX + 1 45164 KachelY + 1 28800 1.18845162 0.37156968 68.093262 21.289374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37165901-0.37156968) × R
    8.93299999999986e-05 × 6371000     		dl = 569.121429999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37165901-0.37156968) × R
    8.93299999999986e-05 × 6371000     		dr = 569.121429999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18835574-1.18845162) × cos(0.37165901) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931726139234854 × 6371000     		do = 569.146291105923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18835574-1.18845162) × cos(0.37156968) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931758576749633 × 6371000     		du = 569.166105609834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37165901)-sin(0.37156968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931726139234854-0.931758576749633)×R²
    abs(1.18845162-1.18835574)×3.24375147788825e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24375147788825e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24375147788825e-05×40589641000000     		ar = 323918.989718158m²