Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45161 / 28797
↖ ↑ ↗
← N 21.304729°
E 68.076782°		 ← 569.11 m → N 21.304729°
E 68.082276°		 →
↑
569.12 m
↓
↑
569.12 m
↓
N 21.299610°
E 68.076782°		 ← 569.13 m →
323 896 m²		 N 21.299610°
E 68.082276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689109802246094 y=0.439414978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689109802246094 × 216)
    floor (0.689109802246094 × 65536)
    floor (45161.5)     		tx = 45161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439414978027344 × 216)
    floor (0.439414978027344 × 65536)
    floor (28797.5)     		ty = 28797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45161 / 28797 ti = "16/45161/28797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45161/28797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45161 ÷ 216
    45161 ÷ 65536     		x = 0.689102172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28797 ÷ 216
    28797 ÷ 65536     		y = 0.439407348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689102172851562 × 2 - 1) × π
    0.378204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18816399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439407348632812 × 2 - 1) × π
    0.121185302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.380714856782486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18816399} λ = 1.18816399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380714856782486))-π/2
    2×atan(1.46333028720845)-π/2
    2×0.971316992346327-π/2
    1.94263398469265-1.57079632675     		φ = 0.37183766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18816399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.076782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37183766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.304729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45161 KachelY 28797 1.18816399 0.37183766 68.076782 21.304729
    Oben rechts KachelX + 1 45162 KachelY 28797 1.18825987 0.37183766 68.082276 21.304729
    Unten links KachelX 45161 KachelY + 1 28798 1.18816399 0.37174833 68.076782 21.299610
    Unten rechts KachelX + 1 45162 KachelY + 1 28798 1.18825987 0.37174833 68.082276 21.299610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37183766-0.37174833) × R
    8.93299999999986e-05 × 6371000     		dl = 569.121429999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37183766-0.37174833) × R
    8.93299999999986e-05 × 6371000     		dr = 569.121429999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18816399-1.18825987) × cos(0.37183766) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931661245533735 × 6371000     		do = 569.106650692552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18816399-1.18825987) × cos(0.37174833) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.93169369791749 × 6371000     		du = 569.126474279199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37183766)-sin(0.37174833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931661245533735-0.93169369791749)×R²
    abs(1.18825987-1.18816399)×3.24523837552659e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24523837552659e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24523837552659e-05×40589641000000     		ar = 323896.432094114m²