Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45160 / 28792
↖ ↑ ↗
← N 21.330315°
E 68.071289°		 ← 568.95 m → N 21.330315°
E 68.076782°		 →
↑
568.99 m
↓
↑
568.99 m
↓
N 21.325198°
E 68.071289°		 ← 568.97 m →
323 734 m²		 N 21.325198°
E 68.076782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689094543457031 y=0.439338684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689094543457031 × 216)
    floor (0.689094543457031 × 65536)
    floor (45160.5)     		tx = 45160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439338684082031 × 216)
    floor (0.439338684082031 × 65536)
    floor (28792.5)     		ty = 28792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45160 / 28792 ti = "16/45160/28792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45160/28792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45160 ÷ 216
    45160 ÷ 65536     		x = 0.6890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28792 ÷ 216
    28792 ÷ 65536     		y = 0.4393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6890869140625 × 2 - 1) × π
    0.378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18806812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    0.121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.381194225778687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18806812} λ = 1.18806812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381194225778687))-π/2
    2×atan(1.46403193053893)-π/2
    2×0.971540277651954-π/2
    1.94308055530391-1.57079632675     		φ = 0.37228423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18806812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37228423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.330315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45160 KachelY 28792 1.18806812 0.37228423 68.071289 21.330315
    Oben rechts KachelX + 1 45161 KachelY 28792 1.18816399 0.37228423 68.076782 21.330315
    Unten links KachelX 45160 KachelY + 1 28793 1.18806812 0.37219492 68.071289 21.325198
    Unten rechts KachelX + 1 45161 KachelY + 1 28793 1.18816399 0.37219492 68.076782 21.325198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37228423-0.37219492) × R
    8.93100000000091e-05 × 6371000     		dl = 568.994010000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37228423-0.37219492) × R
    8.93100000000091e-05 × 6371000     		dr = 568.994010000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18806812-1.18816399) × cos(0.37228423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931498901201934 × 6371000     		do = 568.948136622567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18806812-1.18816399) × cos(0.37219492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931531383475803 × 6371000     		du = 568.967976398188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37228423)-sin(0.37219492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931498901201934-0.931531383475803)×R²
    abs(1.18816399-1.18806812)×3.24822738686503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24822738686503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24822738686503e-05×40589641000000     		ar = 323733.726310892m²