Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45160 / 28790
↖ ↑ ↗
← N 21.340549°
E 68.071289°		 ← 568.91 m → N 21.340549°
E 68.076782°		 →
↑
568.99 m
↓
↑
568.99 m
↓
N 21.335432°
E 68.071289°		 ← 568.93 m →
323 711 m²		 N 21.335432°
E 68.076782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689094543457031 y=0.439308166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689094543457031 × 216)
    floor (0.689094543457031 × 65536)
    floor (45160.5)     		tx = 45160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439308166503906 × 216)
    floor (0.439308166503906 × 65536)
    floor (28790.5)     		ty = 28790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45160 / 28790 ti = "16/45160/28790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45160/28790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45160 ÷ 216
    45160 ÷ 65536     		x = 0.6890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28790 ÷ 216
    28790 ÷ 65536     		y = 0.439300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6890869140625 × 2 - 1) × π
    0.378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18806812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439300537109375 × 2 - 1) × π
    0.12139892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.381385973377167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18806812} λ = 1.18806812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381385973377167))-π/2
    2×atan(1.46431268206156)-π/2
    2×0.971629580875823-π/2
    1.94325916175165-1.57079632675     		φ = 0.37246284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18806812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37246284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.340549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45160 KachelY 28790 1.18806812 0.37246284 68.071289 21.340549
    Oben rechts KachelX + 1 45161 KachelY 28790 1.18816399 0.37246284 68.076782 21.340549
    Unten links KachelX 45160 KachelY + 1 28791 1.18806812 0.37237353 68.071289 21.335432
    Unten rechts KachelX + 1 45161 KachelY + 1 28791 1.18816399 0.37237353 68.076782 21.335432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37246284-0.37237353) × R
    8.93100000000091e-05 × 6371000     		dl = 568.994010000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37246284-0.37237353) × R
    8.93100000000091e-05 × 6371000     		dr = 568.994010000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18806812-1.18816399) × cos(0.37246284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931433918003884 × 6371000     		do = 568.908445679943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18806812-1.18816399) × cos(0.37237353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931466415136447 × 6371000     		du = 568.928294531072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37246284)-sin(0.37237353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931433918003884-0.931466415136447)×R²
    abs(1.18816399-1.18806812)×3.24971325624812e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24971325624812e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24971325624812e-05×40589641000000     		ar = 323711.144984156m²