Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45159 / 28969
↖ ↑ ↗
← N 20.421865°
E 68.065796°		 ← 572.40 m → N 20.421865°
E 68.071289°		 →
↑
572.43 m
↓
↑
572.43 m
↓
N 20.416717°
E 68.065796°		 ← 572.42 m →
327 666 m²		 N 20.416717°
E 68.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689079284667969 y=0.442039489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689079284667969 × 216)
    floor (0.689079284667969 × 65536)
    floor (45159.5)     		tx = 45159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442039489746094 × 216)
    floor (0.442039489746094 × 65536)
    floor (28969.5)     		ty = 28969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45159 / 28969 ti = "16/45159/28969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45159/28969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45159 ÷ 216
    45159 ÷ 65536     		x = 0.689071655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28969 ÷ 216
    28969 ÷ 65536     		y = 0.442031860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689071655273438 × 2 - 1) × π
    0.378143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18797225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442031860351562 × 2 - 1) × π
    0.115936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364224563313187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18797225} λ = 1.18797225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364224563313187))-π/2
    2×atan(1.43939741371952)-π/2
    2×0.963612555109204-π/2
    1.92722511021841-1.57079632675     		φ = 0.35642878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18797225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.065796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35642878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.421865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45159 KachelY 28969 1.18797225 0.35642878 68.065796 20.421865
    Oben rechts KachelX + 1 45160 KachelY 28969 1.18806812 0.35642878 68.071289 20.421865
    Unten links KachelX 45159 KachelY + 1 28970 1.18797225 0.35633893 68.065796 20.416717
    Unten rechts KachelX + 1 45160 KachelY + 1 28970 1.18806812 0.35633893 68.071289 20.416717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35642878-0.35633893) × R
    8.98500000000024e-05 × 6371000     		dl = 572.434350000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35642878-0.35633893) × R
    8.98500000000024e-05 × 6371000     		dr = 572.434350000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18797225-1.18806812) × cos(0.35642878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937148901764909 × 6371000     		do = 572.399087866926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18797225-1.18806812) × cos(0.35633893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937180249315649 × 6371000     		du = 572.418234567537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35642878)-sin(0.35633893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937148901764909-0.937180249315649)×R²
    abs(1.18806812-1.18797225)×3.13475507395244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13475507395244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13475507395244e-05×40589641000000     		ar = 327666.380138636m²