Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45159 / 28907
↖ ↑ ↗
← N 20.740703°
E 68.065796°		 ← 571.20 m → N 20.740703°
E 68.071289°		 →
↑
571.22 m
↓
↑
571.22 m
↓
N 20.735566°
E 68.065796°		 ← 571.22 m →
326 291 m²		 N 20.735566°
E 68.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689079284667969 y=0.441093444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689079284667969 × 216)
    floor (0.689079284667969 × 65536)
    floor (45159.5)     		tx = 45159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441093444824219 × 216)
    floor (0.441093444824219 × 65536)
    floor (28907.5)     		ty = 28907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45159 / 28907 ti = "16/45159/28907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45159/28907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45159 ÷ 216
    45159 ÷ 65536     		x = 0.689071655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28907 ÷ 216
    28907 ÷ 65536     		y = 0.441085815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689071655273438 × 2 - 1) × π
    0.378143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18797225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441085815429688 × 2 - 1) × π
    0.117828369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.370168738866074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18797225} λ = 1.18797225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370168738866074))-π/2
    2×atan(1.44797892437227)-π/2
    2×0.966394943046533-π/2
    1.93278988609307-1.57079632675     		φ = 0.36199356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18797225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.065796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36199356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.740703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45159 KachelY 28907 1.18797225 0.36199356 68.065796 20.740703
    Oben rechts KachelX + 1 45160 KachelY 28907 1.18806812 0.36199356 68.071289 20.740703
    Unten links KachelX 45159 KachelY + 1 28908 1.18797225 0.36190390 68.065796 20.735566
    Unten rechts KachelX + 1 45160 KachelY + 1 28908 1.18806812 0.36190390 68.071289 20.735566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36199356-0.36190390) × R
    8.96599999999914e-05 × 6371000     		dl = 571.223859999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36199356-0.36190390) × R
    8.96599999999914e-05 × 6371000     		dr = 571.223859999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18797225-1.18806812) × cos(0.36199356) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935192684564535 × 6371000     		do = 571.204254325473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18797225-1.18806812) × cos(0.36190390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935224432935028 × 6371000     		du = 571.223645841888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36199356)-sin(0.36190390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935192684564535-0.935224432935028)×R²
    abs(1.18806812-1.18797225)×3.17483704928012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17483704928012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17483704928012e-05×40589641000000     		ar = 326291.03767125m²