Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45158 / 28788
↖ ↑ ↗
← N 21.350781°
E 68.060303°		 ← 568.93 m → N 21.350781°
E 68.065796°		 →
↑
568.93 m
↓
↑
568.93 m
↓
N 21.345665°
E 68.060303°		 ← 568.95 m →
323 686 m²		 N 21.345665°
E 68.065796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689064025878906 y=0.439277648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689064025878906 × 216)
    floor (0.689064025878906 × 65536)
    floor (45158.5)     		tx = 45158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439277648925781 × 216)
    floor (0.439277648925781 × 65536)
    floor (28788.5)     		ty = 28788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45158 / 28788 ti = "16/45158/28788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45158/28788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45158 ÷ 216
    45158 ÷ 65536     		x = 0.689056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28788 ÷ 216
    28788 ÷ 65536     		y = 0.43927001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689056396484375 × 2 - 1) × π
    0.37811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18787637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43927001953125 × 2 - 1) × π
    0.1214599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.381577720975647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18787637} λ = 1.18787637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381577720975647))-π/2
    2×atan(1.46459348742279)-π/2
    2×0.971718877868422-π/2
    1.94343775573684-1.57079632675     		φ = 0.37264143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18787637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37264143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.350781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45158 KachelY 28788 1.18787637 0.37264143 68.060303 21.350781
    Oben rechts KachelX + 1 45159 KachelY 28788 1.18797225 0.37264143 68.065796 21.350781
    Unten links KachelX 45158 KachelY + 1 28789 1.18787637 0.37255213 68.060303 21.345665
    Unten rechts KachelX + 1 45159 KachelY + 1 28789 1.18797225 0.37255213 68.065796 21.345665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37264143-0.37255213) × R
    8.93000000000144e-05 × 6371000     		dl = 568.930300000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37264143-0.37255213) × R
    8.93000000000144e-05 × 6371000     		dr = 568.930300000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18787637-1.18797225) × cos(0.37264143) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.931368912373202 × 6371000     		do = 568.928078550105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18787637-1.18797225) × cos(0.37255213) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.931401420721821 × 6371000     		du = 568.947936322972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37264143)-sin(0.37255213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931368912373202-0.931401420721821)×R²
    abs(1.18797225-1.18787637)×3.25083486192312e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.25083486192312e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.25083486192312e-05×40589641000000     		ar = 323686.071467564m²