Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45155 / 28803
↖ ↑ ↗
← N 21.274019°
E 68.043823°		 ← 569.17 m → N 21.274019°
E 68.049316°		 →
↑
569.19 m
↓
↑
569.19 m
↓
N 21.268900°
E 68.043823°		 ← 569.19 m →
323 967 m²		 N 21.268900°
E 68.049316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689018249511719 y=0.439506530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689018249511719 × 216)
    floor (0.689018249511719 × 65536)
    floor (45155.5)     		tx = 45155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439506530761719 × 216)
    floor (0.439506530761719 × 65536)
    floor (28803.5)     		ty = 28803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45155 / 28803 ti = "16/45155/28803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45155/28803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45155 ÷ 216
    45155 ÷ 65536     		x = 0.689010620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28803 ÷ 216
    28803 ÷ 65536     		y = 0.439498901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689010620117188 × 2 - 1) × π
    0.378021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18758875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439498901367188 × 2 - 1) × π
    0.121002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.380139613987045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18758875} λ = 1.18758875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380139613987045))-π/2
    2×atan(1.46248875906809)-π/2
    2×0.971048998644676-π/2
    1.94209799728935-1.57079632675     		φ = 0.37130167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18758875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.043823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37130167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.274019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45155 KachelY 28803 1.18758875 0.37130167 68.043823 21.274019
    Oben rechts KachelX + 1 45156 KachelY 28803 1.18768462 0.37130167 68.049316 21.274019
    Unten links KachelX 45155 KachelY + 1 28804 1.18758875 0.37121233 68.043823 21.268900
    Unten rechts KachelX + 1 45156 KachelY + 1 28804 1.18768462 0.37121233 68.049316 21.268900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37130167-0.37121233) × R
    8.93399999999933e-05 × 6371000     		dl = 569.185139999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37130167-0.37121233) × R
    8.93399999999933e-05 × 6371000     		dr = 569.185139999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18758875-1.18768462) × cos(0.37130167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931855851937753 × 6371000     		do = 569.166157766498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18758875-1.18768462) × cos(0.37121233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931888263335598 × 6371000     		du = 569.18595425191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37130167)-sin(0.37121233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931855851937753-0.931888263335598)×R²
    abs(1.18768462-1.18758875)×3.24113978454887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24113978454887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24113978454887e-05×40589641000000     		ar = 323966.5533397m²