Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45150 / 28726
↖ ↑ ↗
← N 21.667638°
E 68.016357°		 ← 567.69 m → N 21.667638°
E 68.021851°		 →
↑
567.66 m
↓
↑
567.66 m
↓
N 21.662533°
E 68.016357°		 ← 567.71 m →
322 258 m²		 N 21.662533°
E 68.021851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688941955566406 y=0.438331604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688941955566406 × 216)
    floor (0.688941955566406 × 65536)
    floor (45150.5)     		tx = 45150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438331604003906 × 216)
    floor (0.438331604003906 × 65536)
    floor (28726.5)     		ty = 28726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45150 / 28726 ti = "16/45150/28726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45150/28726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45150 ÷ 216
    45150 ÷ 65536     		x = 0.688934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28726 ÷ 216
    28726 ÷ 65536     		y = 0.438323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688934326171875 × 2 - 1) × π
    0.37786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18710938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438323974609375 × 2 - 1) × π
    0.12335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.387521896528534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18710938} λ = 1.18710938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387521896528534))-π/2
    2×atan(1.47332521397341)-π/2
    2×0.974483980802589-π/2
    1.94896796160518-1.57079632675     		φ = 0.37817163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18710938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.016357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37817163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.667638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45150 KachelY 28726 1.18710938 0.37817163 68.016357 21.667638
    Oben rechts KachelX + 1 45151 KachelY 28726 1.18720526 0.37817163 68.021851 21.667638
    Unten links KachelX 45150 KachelY + 1 28727 1.18710938 0.37808253 68.016357 21.662533
    Unten rechts KachelX + 1 45151 KachelY + 1 28727 1.18720526 0.37808253 68.021851 21.662533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37817163-0.37808253) × R
    8.90999999999531e-05 × 6371000     		dl = 567.656099999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37817163-0.37808253) × R
    8.90999999999531e-05 × 6371000     		dr = 567.656099999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18710938-1.18720526) × cos(0.37817163) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.929341262824132 × 6371000     		do = 567.689485820818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18710938-1.18720526) × cos(0.37808253) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.929374156807143 × 6371000     		du = 567.709579159023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37817163)-sin(0.37808253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929341262824132-0.929374156807143)×R²
    abs(1.18720526-1.18710938)×3.28939830110953e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28939830110953e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28939830110953e-05×40589641000000     		ar = 322258.102798099m²