Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45148 / 29028
↖ ↑ ↗
← N 20.117840°
E 68.005371°		 ← 573.58 m → N 20.117840°
E 68.010864°		 →
↑
573.58 m
↓
↑
573.58 m
↓
N 20.112681°
E 68.005371°		 ← 573.60 m →
329 001 m²		 N 20.112681°
E 68.010864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688911437988281 y=0.442939758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688911437988281 × 216)
    floor (0.688911437988281 × 65536)
    floor (45148.5)     		tx = 45148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442939758300781 × 216)
    floor (0.442939758300781 × 65536)
    floor (29028.5)     		ty = 29028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45148 / 29028 ti = "16/45148/29028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45148/29028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45148 ÷ 216
    45148 ÷ 65536     		x = 0.68890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29028 ÷ 216
    29028 ÷ 65536     		y = 0.44293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68890380859375 × 2 - 1) × π
    0.3778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18691763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    0.1141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35856800915802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18691763} λ = 1.18691763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35856800915802))-π/2
    2×atan(1.43127836885497)-π/2
    2×0.960959433362776-π/2
    1.92191886672555-1.57079632675     		φ = 0.35112254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18691763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.005371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35112254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.117840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45148 KachelY 29028 1.18691763 0.35112254 68.005371 20.117840
    Oben rechts KachelX + 1 45149 KachelY 29028 1.18701351 0.35112254 68.010864 20.117840
    Unten links KachelX 45148 KachelY + 1 29029 1.18691763 0.35103251 68.005371 20.112681
    Unten rechts KachelX + 1 45149 KachelY + 1 29029 1.18701351 0.35103251 68.010864 20.112681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35112254-0.35103251) × R
    9.00299999999632e-05 × 6371000     		dl = 573.581129999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35112254-0.35103251) × R
    9.00299999999632e-05 × 6371000     		dr = 573.581129999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18691763-1.18701351) × cos(0.35112254) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.938987204573575 × 6371000     		do = 573.581723615784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18691763-1.18701351) × cos(0.35103251) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.939018166773379 × 6371000     		du = 573.600636921358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35112254)-sin(0.35103251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938987204573575-0.939018166773379)×R²
    abs(1.18701351-1.18691763)×3.09621998039189e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.09621998039189e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.09621998039189e-05×40589641000000     		ar = 329001.07755855m²