Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45142 / 28782
↖ ↑ ↗
← N 21.381475°
E 67.972412°		 ← 568.81 m → N 21.381475°
E 67.977906°		 →
↑
568.80 m
↓
↑
568.80 m
↓
N 21.376360°
E 67.972412°		 ← 568.83 m →
323 546 m²		 N 21.376360°
E 67.977906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688819885253906 y=0.439186096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688819885253906 × 216)
    floor (0.688819885253906 × 65536)
    floor (45142.5)     		tx = 45142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439186096191406 × 216)
    floor (0.439186096191406 × 65536)
    floor (28782.5)     		ty = 28782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45142 / 28782 ti = "16/45142/28782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45142/28782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45142 ÷ 216
    45142 ÷ 65536     		x = 0.688812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28782 ÷ 216
    28782 ÷ 65536     		y = 0.439178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688812255859375 × 2 - 1) × π
    0.37762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18634239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439178466796875 × 2 - 1) × π
    0.12164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.382152963771088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18634239} λ = 1.18634239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382152963771088))-π/2
    2×atan(1.46543622664127)-π/2
    2×0.971986731434478-π/2
    1.94397346286896-1.57079632675     		φ = 0.37317714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18634239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37317714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.381475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45142 KachelY 28782 1.18634239 0.37317714 67.972412 21.381475
    Oben rechts KachelX + 1 45143 KachelY 28782 1.18643827 0.37317714 67.977906 21.381475
    Unten links KachelX 45142 KachelY + 1 28783 1.18634239 0.37308786 67.972412 21.376360
    Unten rechts KachelX + 1 45143 KachelY + 1 28783 1.18643827 0.37308786 67.977906 21.376360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37317714-0.37308786) × R
    8.92800000000249e-05 × 6371000     		dl = 568.802880000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37317714-0.37308786) × R
    8.92800000000249e-05 × 6371000     		dr = 568.802880000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18634239-1.18643827) × cos(0.37317714) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931173739131351 × 6371000     		do = 568.808856685147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18634239-1.18643827) × cos(0.37308786) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931206284741896 × 6371000     		du = 568.828737219516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37317714)-sin(0.37308786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931173739131351-0.931206284741896)×R²
    abs(1.18643827-1.18634239)×3.25456105452204e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25456105452204e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25456105452204e-05×40589641000000     		ar = 323545.770119491m²