Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45142 / 28740
↖ ↑ ↗
← N 21.596150°
E 67.972412°		 ← 567.97 m → N 21.596150°
E 67.977906°		 →
↑
567.91 m
↓
↑
567.91 m
↓
N 21.591043°
E 67.972412°		 ← 567.99 m →
322 562 m²		 N 21.591043°
E 67.977906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688819885253906 y=0.438545227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688819885253906 × 216)
    floor (0.688819885253906 × 65536)
    floor (45142.5)     		tx = 45142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438545227050781 × 216)
    floor (0.438545227050781 × 65536)
    floor (28740.5)     		ty = 28740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45142 / 28740 ti = "16/45142/28740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45142/28740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45142 ÷ 216
    45142 ÷ 65536     		x = 0.688812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28740 ÷ 216
    28740 ÷ 65536     		y = 0.43853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688812255859375 × 2 - 1) × π
    0.37762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18634239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43853759765625 × 2 - 1) × π
    0.1229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.386179663339172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18634239} λ = 1.18634239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386179663339172))-π/2
    2×atan(1.47134899454284)-π/2
    2×0.973860130050178-π/2
    1.94772026010036-1.57079632675     		φ = 0.37692393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18634239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37692393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.596150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45142 KachelY 28740 1.18634239 0.37692393 67.972412 21.596150
    Oben rechts KachelX + 1 45143 KachelY 28740 1.18643827 0.37692393 67.977906 21.596150
    Unten links KachelX 45142 KachelY + 1 28741 1.18634239 0.37683479 67.972412 21.591043
    Unten rechts KachelX + 1 45143 KachelY + 1 28741 1.18643827 0.37683479 67.977906 21.591043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37692393-0.37683479) × R
    8.91400000000431e-05 × 6371000     		dl = 567.910940000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37692393-0.37683479) × R
    8.91400000000431e-05 × 6371000     		dr = 567.910940000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18634239-1.18643827) × cos(0.37692393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.929801217500619 × 6371000     		do = 567.970449815683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18634239-1.18643827) × cos(0.37683479) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.92983402286046 × 6371000     		du = 567.990489018294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37692393)-sin(0.37683479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929801217500619-0.92983402286046)×R²
    abs(1.18643827-1.18634239)×3.28053598409594e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28053598409594e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28053598409594e-05×40589641000000     		ar = 322562.322502028m²