Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45140 / 28724
↖ ↑ ↗
← N 21.677848°
E 67.961426°		 ← 567.65 m → N 21.677848°
E 67.966919°		 →
↑
567.66 m
↓
↑
567.66 m
↓
N 21.672743°
E 67.961426°		 ← 567.67 m →
322 235 m²		 N 21.672743°
E 67.966919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688789367675781 y=0.438301086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688789367675781 × 216)
    floor (0.688789367675781 × 65536)
    floor (45140.5)     		tx = 45140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438301086425781 × 216)
    floor (0.438301086425781 × 65536)
    floor (28724.5)     		ty = 28724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45140 / 28724 ti = "16/45140/28724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45140/28724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45140 ÷ 216
    45140 ÷ 65536     		x = 0.68878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28724 ÷ 216
    28724 ÷ 65536     		y = 0.43829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68878173828125 × 2 - 1) × π
    0.3775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18615064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43829345703125 × 2 - 1) × π
    0.1234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.387713644127014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18615064} λ = 1.18615064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387713644127014))-π/2
    2×atan(1.47360774763168)-π/2
    2×0.974573077125673-π/2
    1.94914615425135-1.57079632675     		φ = 0.37834983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18615064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.961426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37834983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.677848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45140 KachelY 28724 1.18615064 0.37834983 67.961426 21.677848
    Oben rechts KachelX + 1 45141 KachelY 28724 1.18624652 0.37834983 67.966919 21.677848
    Unten links KachelX 45140 KachelY + 1 28725 1.18615064 0.37826073 67.961426 21.672743
    Unten rechts KachelX + 1 45141 KachelY + 1 28725 1.18624652 0.37826073 67.966919 21.672743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37834983-0.37826073) × R
    8.91000000000086e-05 × 6371000     		dl = 567.656100000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37834983-0.37826073) × R
    8.91000000000086e-05 × 6371000     		dr = 567.656100000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18615064-1.18624652) × cos(0.37834983) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.92927545272478 × 6371000     		do = 567.649285625544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18615064-1.18624652) × cos(0.37826073) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.929308361463257 × 6371000     		du = 567.669387977148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37834983)-sin(0.37826073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92927545272478-0.929308361463257)×R²
    abs(1.18624652-1.18615064)×3.29087384773885e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.29087384773885e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.29087384773885e-05×40589641000000     		ar = 322235.285470441m²