Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45139 / 28725
↖ ↑ ↗
← N 21.672743°
E 67.955933°		 ← 567.61 m → N 21.672743°
E 67.961426°		 →
↑
567.66 m
↓
↑
567.66 m
↓
N 21.667638°
E 67.955933°		 ← 567.63 m →
322 213 m²		 N 21.667638°
E 67.961426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688774108886719 y=0.438316345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688774108886719 × 216)
    floor (0.688774108886719 × 65536)
    floor (45139.5)     		tx = 45139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438316345214844 × 216)
    floor (0.438316345214844 × 65536)
    floor (28725.5)     		ty = 28725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45139 / 28725 ti = "16/45139/28725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45139/28725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45139 ÷ 216
    45139 ÷ 65536     		x = 0.688766479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28725 ÷ 216
    28725 ÷ 65536     		y = 0.438308715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688766479492188 × 2 - 1) × π
    0.377532958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18605477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438308715820312 × 2 - 1) × π
    0.123382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.387617770327774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18605477} λ = 1.18605477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387617770327774))-π/2
    2×atan(1.47346647403065)-π/2
    2×0.974528529752782-π/2
    1.94905705950556-1.57079632675     		φ = 0.37826073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18605477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.955933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37826073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.672743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45139 KachelY 28725 1.18605477 0.37826073 67.955933 21.672743
    Oben rechts KachelX + 1 45140 KachelY 28725 1.18615064 0.37826073 67.961426 21.672743
    Unten links KachelX 45139 KachelY + 1 28726 1.18605477 0.37817163 67.955933 21.667638
    Unten rechts KachelX + 1 45140 KachelY + 1 28726 1.18615064 0.37817163 67.961426 21.667638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37826073-0.37817163) × R
    8.91000000000086e-05 × 6371000     		dl = 567.656100000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37826073-0.37817163) × R
    8.91000000000086e-05 × 6371000     		dr = 567.656100000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18605477-1.18615064) × cos(0.37826073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929308361463257 × 6371000     		do = 567.610181740485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18605477-1.18615064) × cos(0.37817163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929341262824132 × 6371000     		du = 567.630277489323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37826073)-sin(0.37817163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929308361463257-0.929341262824132)×R²
    abs(1.18615064-1.18605477)×3.29013608748596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29013608748596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29013608748596e-05×40589641000000     		ar = 322213.086037309m²