Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45137 / 28787
↖ ↑ ↗
← N 21.355897°
E 67.944946°		 ← 568.91 m → N 21.355897°
E 67.950440°		 →
↑
568.87 m
↓
↑
568.87 m
↓
N 21.350781°
E 67.944946°		 ← 568.93 m →
323 639 m²		 N 21.350781°
E 67.950440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688743591308594 y=0.439262390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688743591308594 × 216)
    floor (0.688743591308594 × 65536)
    floor (45137.5)     		tx = 45137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439262390136719 × 216)
    floor (0.439262390136719 × 65536)
    floor (28787.5)     		ty = 28787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45137 / 28787 ti = "16/45137/28787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45137/28787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45137 ÷ 216
    45137 ÷ 65536     		x = 0.688735961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28787 ÷ 216
    28787 ÷ 65536     		y = 0.439254760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688735961914062 × 2 - 1) × π
    0.377471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18586302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439254760742188 × 2 - 1) × π
    0.121490478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.381673594774887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18586302} λ = 1.18586302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381673594774887))-π/2
    2×atan(1.4647339102961)-π/2
    2×0.971763524027241-π/2
    1.94352704805448-1.57079632675     		φ = 0.37273072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18586302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.944946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37273072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.355897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45137 KachelY 28787 1.18586302 0.37273072 67.944946 21.355897
    Oben rechts KachelX + 1 45138 KachelY 28787 1.18595890 0.37273072 67.950440 21.355897
    Unten links KachelX 45137 KachelY + 1 28788 1.18586302 0.37264143 67.944946 21.350781
    Unten rechts KachelX + 1 45138 KachelY + 1 28788 1.18595890 0.37264143 67.950440 21.350781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37273072-0.37264143) × R
    8.92900000000196e-05 × 6371000     		dl = 568.866590000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37273072-0.37264143) × R
    8.92900000000196e-05 × 6371000     		dr = 568.866590000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18586302-1.18595890) × cos(0.37273072) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931336400238991 × 6371000     		do = 568.908218463487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18586302-1.18595890) × cos(0.37264143) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931368912373202 × 6371000     		du = 568.928078548788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37273072)-sin(0.37264143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931336400238991-0.931368912373202)×R²
    abs(1.18595890-1.18586302)×3.25121342111823e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25121342111823e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25121342111823e-05×40589641000000     		ar = 323638.527344947m²