Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45137 / 28783
↖ ↑ ↗
← N 21.376360°
E 67.944946°		 ← 568.83 m → N 21.376360°
E 67.950440°		 →
↑
568.80 m
↓
↑
568.80 m
↓
N 21.371244°
E 67.944946°		 ← 568.85 m →
323 557 m²		 N 21.371244°
E 67.950440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688743591308594 y=0.439201354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688743591308594 × 216)
    floor (0.688743591308594 × 65536)
    floor (45137.5)     		tx = 45137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439201354980469 × 216)
    floor (0.439201354980469 × 65536)
    floor (28783.5)     		ty = 28783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45137 / 28783 ti = "16/45137/28783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45137/28783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45137 ÷ 216
    45137 ÷ 65536     		x = 0.688735961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28783 ÷ 216
    28783 ÷ 65536     		y = 0.439193725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688735961914062 × 2 - 1) × π
    0.377471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18586302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439193725585938 × 2 - 1) × π
    0.121612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.382057089971848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18586302} λ = 1.18586302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382057089971848))-π/2
    2×atan(1.46529573643745)-π/2
    2×0.971942093072284-π/2
    1.94388418614457-1.57079632675     		φ = 0.37308786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18586302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.944946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37308786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.376360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45137 KachelY 28783 1.18586302 0.37308786 67.944946 21.376360
    Oben rechts KachelX + 1 45138 KachelY 28783 1.18595890 0.37308786 67.950440 21.376360
    Unten links KachelX 45137 KachelY + 1 28784 1.18586302 0.37299858 67.944946 21.371244
    Unten rechts KachelX + 1 45138 KachelY + 1 28784 1.18595890 0.37299858 67.950440 21.371244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37308786-0.37299858) × R
    8.92799999999694e-05 × 6371000     		dl = 568.802879999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37308786-0.37299858) × R
    8.92799999999694e-05 × 6371000     		dr = 568.802879999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18586302-1.18595890) × cos(0.37308786) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931206284741896 × 6371000     		do = 568.828737219516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18586302-1.18595890) × cos(0.37299858) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.931238822929872 × 6371000     		du = 568.848613219797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37308786)-sin(0.37299858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931206284741896-0.931238822929872)×R²
    abs(1.18595890-1.18586302)×3.25381879758835e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25381879758835e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25381879758835e-05×40589641000000     		ar = 323557.076935116m²