Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45134 / 28983
↖ ↑ ↗
← N 20.349778°
E 67.928467°		 ← 572.73 m → N 20.349778°
E 67.933960°		 →
↑
572.69 m
↓
↑
572.69 m
↓
N 20.344627°
E 67.928467°		 ← 572.75 m →
328 000 m²		 N 20.344627°
E 67.933960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688697814941406 y=0.442253112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688697814941406 × 216)
    floor (0.688697814941406 × 65536)
    floor (45134.5)     		tx = 45134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442253112792969 × 216)
    floor (0.442253112792969 × 65536)
    floor (28983.5)     		ty = 28983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45134 / 28983 ti = "16/45134/28983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45134/28983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45134 ÷ 216
    45134 ÷ 65536     		x = 0.688690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28983 ÷ 216
    28983 ÷ 65536     		y = 0.442245483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688690185546875 × 2 - 1) × π
    0.37738037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18557540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442245483398438 × 2 - 1) × π
    0.115509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.362882330123825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18557540} λ = 1.18557540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362882330123825))-π/2
    2×atan(1.43746670276017)-π/2
    2×0.962983471793735-π/2
    1.92596694358747-1.57079632675     		φ = 0.35517062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18557540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.928467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35517062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.349778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45134 KachelY 28983 1.18557540 0.35517062 67.928467 20.349778
    Oben rechts KachelX + 1 45135 KachelY 28983 1.18567128 0.35517062 67.933960 20.349778
    Unten links KachelX 45134 KachelY + 1 28984 1.18557540 0.35508073 67.928467 20.344627
    Unten rechts KachelX + 1 45135 KachelY + 1 28984 1.18567128 0.35508073 67.933960 20.344627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35517062-0.35508073) × R
    8.98899999999814e-05 × 6371000     		dl = 572.689189999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35517062-0.35508073) × R
    8.98899999999814e-05 × 6371000     		dr = 572.689189999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18557540-1.18567128) × cos(0.35517062) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.937587169303521 × 6371000     		do = 572.726509997691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18557540-1.18567128) × cos(0.35508073) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.937618424793717 × 6371000     		du = 572.745602460135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35517062)-sin(0.35508073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937587169303521-0.937618424793717)×R²
    abs(1.18567128-1.18557540)×3.12554901965578e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.12554901965578e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.12554901965578e-05×40589641000000     		ar = 327999.748346268m²