Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45132 / 28714
↖ ↑ ↗
← N 21.728886°
E 67.917480°		 ← 567.45 m → N 21.728886°
E 67.922974°		 →
↑
567.40 m
↓
↑
567.40 m
↓
N 21.723783°
E 67.917480°		 ← 567.47 m →
321 976 m²		 N 21.723783°
E 67.922974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688667297363281 y=0.438148498535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688667297363281 × 216)
    floor (0.688667297363281 × 65536)
    floor (45132.5)     		tx = 45132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438148498535156 × 216)
    floor (0.438148498535156 × 65536)
    floor (28714.5)     		ty = 28714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45132 / 28714 ti = "16/45132/28714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45132/28714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45132 ÷ 216
    45132 ÷ 65536     		x = 0.68865966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28714 ÷ 216
    28714 ÷ 65536     		y = 0.438140869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68865966796875 × 2 - 1) × π
    0.3773193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18538365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438140869140625 × 2 - 1) × π
    0.12371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.388672382119415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18538365} λ = 1.18538365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388672382119415))-π/2
    2×atan(1.47502122883602)-π/2
    2×0.975018464037558-π/2
    1.95003692807512-1.57079632675     		φ = 0.37924060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18538365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.917480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37924060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.728886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45132 KachelY 28714 1.18538365 0.37924060 67.917480 21.728886
    Oben rechts KachelX + 1 45133 KachelY 28714 1.18547953 0.37924060 67.922974 21.728886
    Unten links KachelX 45132 KachelY + 1 28715 1.18538365 0.37915154 67.917480 21.723783
    Unten rechts KachelX + 1 45133 KachelY + 1 28715 1.18547953 0.37915154 67.922974 21.723783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37924060-0.37915154) × R
    8.90599999999742e-05 × 6371000     		dl = 567.401259999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37924060-0.37915154) × R
    8.90599999999742e-05 × 6371000     		dr = 567.401259999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18538365-1.18547953) × cos(0.37924060) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.928946044778879 × 6371000     		do = 567.448066294267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18538365-1.18547953) × cos(0.37915154) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.92897901245467 × 6371000     		du = 567.468204647816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37924060)-sin(0.37915154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928946044778879-0.92897901245467)×R²
    abs(1.18547953-1.18538365)×3.29676757911956e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.29676757911956e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.29676757911956e-05×40589641000000     		ar = 321976.461276173m²