Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45113 / 28929
↖ ↑ ↗
← N 20.627643°
E 67.813110°		 ← 571.69 m → N 20.627643°
E 67.818604°		 →
↑
571.67 m
↓
↑
571.67 m
↓
N 20.622502°
E 67.813110°		 ← 571.71 m →
326 823 m²		 N 20.622502°
E 67.818604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688377380371094 y=0.441429138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688377380371094 × 216)
    floor (0.688377380371094 × 65536)
    floor (45113.5)     		tx = 45113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441429138183594 × 216)
    floor (0.441429138183594 × 65536)
    floor (28929.5)     		ty = 28929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45113 / 28929 ti = "16/45113/28929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45113/28929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45113 ÷ 216
    45113 ÷ 65536     		x = 0.688369750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28929 ÷ 216
    28929 ÷ 65536     		y = 0.441421508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688369750976562 × 2 - 1) × π
    0.376739501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18356205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441421508789062 × 2 - 1) × π
    0.117156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.368059515282791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18356205} λ = 1.18356205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368059515282791))-π/2
    2×atan(1.44492803171533)-π/2
    2×0.965408310012285-π/2
    1.93081662002457-1.57079632675     		φ = 0.36002029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18356205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.813110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36002029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.627643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45113 KachelY 28929 1.18356205 0.36002029 67.813110 20.627643
    Oben rechts KachelX + 1 45114 KachelY 28929 1.18365793 0.36002029 67.818604 20.627643
    Unten links KachelX 45113 KachelY + 1 28930 1.18356205 0.35993056 67.813110 20.622502
    Unten rechts KachelX + 1 45114 KachelY + 1 28930 1.18365793 0.35993056 67.818604 20.622502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36002029-0.35993056) × R
    8.97300000000101e-05 × 6371000     		dl = 571.669830000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36002029-0.35993056) × R
    8.97300000000101e-05 × 6371000     		dr = 571.669830000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18356205-1.18365793) × cos(0.36002029) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.935889675841095 × 6371000     		do = 571.689593605202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18356205-1.18365793) × cos(0.35993056) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.935921283344267 × 6371000     		du = 571.708901095294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36002029)-sin(0.35993056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935889675841095-0.935921283344267)×R²
    abs(1.18365793-1.18356205)×3.16075031717711e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.16075031717711e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.16075031717711e-05×40589641000000     		ar = 326823.211763237m²