Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45111 / 28827
↖ ↑ ↗
← N 21.151115°
E 67.802124°		 ← 569.70 m → N 21.151115°
E 67.807617°		 →
↑
569.63 m
↓
↑
569.63 m
↓
N 21.145992°
E 67.802124°		 ← 569.72 m →
324 524 m²		 N 21.145992°
E 67.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688346862792969 y=0.439872741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688346862792969 × 216)
    floor (0.688346862792969 × 65536)
    floor (45111.5)     		tx = 45111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439872741699219 × 216)
    floor (0.439872741699219 × 65536)
    floor (28827.5)     		ty = 28827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45111 / 28827 ti = "16/45111/28827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45111/28827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45111 ÷ 216
    45111 ÷ 65536     		x = 0.688339233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28827 ÷ 216
    28827 ÷ 65536     		y = 0.439865112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688339233398438 × 2 - 1) × π
    0.376678466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18337030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439865112304688 × 2 - 1) × π
    0.120269775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.377838642805283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18337030} λ = 1.18337030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377838642805283))-π/2
    2×atan(1.45912748316233)-π/2
    2×0.969976465091917-π/2
    1.93995293018383-1.57079632675     		φ = 0.36915660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18337030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.802124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36915660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.151115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45111 KachelY 28827 1.18337030 0.36915660 67.802124 21.151115
    Oben rechts KachelX + 1 45112 KachelY 28827 1.18346618 0.36915660 67.807617 21.151115
    Unten links KachelX 45111 KachelY + 1 28828 1.18337030 0.36906719 67.802124 21.145992
    Unten rechts KachelX + 1 45112 KachelY + 1 28828 1.18346618 0.36906719 67.807617 21.145992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36915660-0.36906719) × R
    8.9410000000012e-05 × 6371000     		dl = 569.631110000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36915660-0.36906719) × R
    8.9410000000012e-05 × 6371000     		dr = 569.631110000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18337030-1.18346618) × cos(0.36915660) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932632000432013 × 6371000     		do = 569.699637758882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18337030-1.18346618) × cos(0.36906719) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932664258423144 × 6371000     		du = 569.719342600506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36915660)-sin(0.36906719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932632000432013-0.932664258423144)×R²
    abs(1.18346618-1.18337030)×3.22579911311571e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22579911311571e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22579911311571e-05×40589641000000     		ar = 324524.249484851m²