Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45103 / 28817
↖ ↑ ↗
← N 21.202338°
E 67.758179°		 ← 569.50 m → N 21.202338°
E 67.763672°		 →
↑
569.50 m
↓
↑
569.50 m
↓
N 21.197216°
E 67.758179°		 ← 569.52 m →
324 339 m²		 N 21.197216°
E 67.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688224792480469 y=0.439720153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688224792480469 × 216)
    floor (0.688224792480469 × 65536)
    floor (45103.5)     		tx = 45103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439720153808594 × 216)
    floor (0.439720153808594 × 65536)
    floor (28817.5)     		ty = 28817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45103 / 28817 ti = "16/45103/28817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45103/28817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45103 ÷ 216
    45103 ÷ 65536     		x = 0.688217163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28817 ÷ 216
    28817 ÷ 65536     		y = 0.439712524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688217163085938 × 2 - 1) × π
    0.376434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18260331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439712524414062 × 2 - 1) × π
    0.120574951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.378797380797684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18260331} λ = 1.18260331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378797380797684))-π/2
    2×atan(1.46052707492989)-π/2
    2×0.970423462575931-π/2
    1.94084692515186-1.57079632675     		φ = 0.37005060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18260331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.758179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37005060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.202338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45103 KachelY 28817 1.18260331 0.37005060 67.758179 21.202338
    Oben rechts KachelX + 1 45104 KachelY 28817 1.18269919 0.37005060 67.763672 21.202338
    Unten links KachelX 45103 KachelY + 1 28818 1.18260331 0.36996121 67.758179 21.197216
    Unten rechts KachelX + 1 45104 KachelY + 1 28818 1.18269919 0.36996121 67.763672 21.197216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37005060-0.36996121) × R
    8.93900000000225e-05 × 6371000     		dl = 569.503690000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37005060-0.36996121) × R
    8.93900000000225e-05 × 6371000     		dr = 569.503690000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18260331-1.18269919) × cos(0.37005060) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932309046671638 × 6371000     		do = 569.502360976386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18260331-1.18269919) × cos(0.36996121) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932341371967217 × 6371000     		du = 569.522106931032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37005060)-sin(0.36996121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932309046671638-0.932341371967217)×R²
    abs(1.18269919-1.18260331)×3.2325295579172e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2325295579172e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2325295579172e-05×40589641000000     		ar = 324339.318952773m²