Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45100 / 28814
↖ ↑ ↗
← N 21.217701°
E 67.741699°		 ← 569.44 m → N 21.217701°
E 67.747193°		 →
↑
569.44 m
↓
↑
569.44 m
↓
N 21.212580°
E 67.741699°		 ← 569.46 m →
324 269 m²		 N 21.212580°
E 67.747193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688179016113281 y=0.439674377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688179016113281 × 216)
    floor (0.688179016113281 × 65536)
    floor (45100.5)     		tx = 45100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439674377441406 × 216)
    floor (0.439674377441406 × 65536)
    floor (28814.5)     		ty = 28814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45100 / 28814 ti = "16/45100/28814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45100/28814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45100 ÷ 216
    45100 ÷ 65536     		x = 0.68817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28814 ÷ 216
    28814 ÷ 65536     		y = 0.439666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68817138671875 × 2 - 1) × π
    0.3763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18231569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439666748046875 × 2 - 1) × π
    0.12066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.379085002195404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18231569} λ = 1.18231569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379085002195404))-π/2
    2×atan(1.46094721418621)-π/2
    2×0.970557531616786-π/2
    1.94111506323357-1.57079632675     		φ = 0.37031874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18231569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.741699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37031874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.217701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45100 KachelY 28814 1.18231569 0.37031874 67.741699 21.217701
    Oben rechts KachelX + 1 45101 KachelY 28814 1.18241157 0.37031874 67.747193 21.217701
    Unten links KachelX 45100 KachelY + 1 28815 1.18231569 0.37022936 67.741699 21.212580
    Unten rechts KachelX + 1 45101 KachelY + 1 28815 1.18241157 0.37022936 67.747193 21.212580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37031874-0.37022936) × R
    8.93799999999723e-05 × 6371000     		dl = 569.439979999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37031874-0.37022936) × R
    8.93799999999723e-05 × 6371000     		dr = 569.439979999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18231569-1.18241157) × cos(0.37031874) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932212036945216 × 6371000     		do = 569.443102441427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18231569-1.18241157) × cos(0.37022936) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932244380968276 × 6371000     		du = 569.462859835782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37031874)-sin(0.37022936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932212036945216-0.932244380968276)×R²
    abs(1.18241157-1.18231569)×3.23440230594052e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.23440230594052e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.23440230594052e-05×40589641000000     		ar = 324269.294406205m²