Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 451 / 706
↖ ↑ ↗
← S 56.170023°
W 21.445312°		 ← 21.764 km → S 56.170023°
W 21.093750°		 →
↑
21.708 km
↓
↑
21.708 km
↓
S 56.365250°
W 21.445312°		 ← 21.653 km →
471.250 km²		 S 56.365250°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44091796875 y=0.68994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44091796875 × 210)
    floor (0.44091796875 × 1024)
    floor (451.5)     		tx = 451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68994140625 × 210)
    floor (0.68994140625 × 1024)
    floor (706.5)     		ty = 706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 451 / 706 ti = "10/451/706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/451/706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 451 ÷ 210
    451 ÷ 1024     		x = 0.4404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 706 ÷ 210
    706 ÷ 1024     		y = 0.689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689453125 × 2 - 1) × π
    -0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37429131} λ = -0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19036909136523))-π/2
    2×atan(0.304108999344261)-π/2
    2×0.295222242420394-π/2
    0.590444484840787-1.57079632675     		φ = -0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 451 KachelY 706 -0.37429131 -0.98035184 -21.445312 -56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 452 KachelY 706 -0.36815539 -0.98035184 -21.093750 -56.170023
    Unten links KachelX 451 KachelY + 1 707 -0.37429131 -0.98375920 -21.445312 -56.365250
    Unten rechts KachelX + 1 452 KachelY + 1 707 -0.36815539 -0.98375920 -21.093750 -56.365250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98035184--0.98375920) × R
    0.00340735999999997 × 6371000     		dl = 21708.2905599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98035184--0.98375920) × R
    0.00340735999999997 × 6371000     		dr = 21708.2905599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37429131--0.36815539) × cos(-0.98035184) × R
    0.00613591999999996 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 21763.6713971506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37429131--0.36815539) × cos(-0.98375920) × R
    0.00613591999999996 × 0.553896612603209 × 6371000     		du = 21652.8966467143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98035184)-sin(-0.98375920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.553896612603209)×R²
    abs(-0.36815539--0.37429131)×0.00283369749690732×R²
    0.00613591999999996×0.00283369749690732×6371000²
    0.00613591999999996×0.00283369749690732×40589641000000     		ar = 471250193.045765m²